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In matematica, un insieme A{displaystyle A} è detto
finito se esiste una biiezione (ovverosia una funzione sia
iniettiva che suriettiva) tra un insieme della forma
{1,...,n}{displaystyle left{1,...,nright}} ed
A{displaystyle A}, dove n{displaystyle n} è un
numero naturale. Per brevità scriviamo n¯:={1,...,n}{displaystyle {bar {n}}:=left{1,...,nright}}.

Ad esempio l'insieme
A:={e,π,eπ}{displaystyle A:=left{e,pi ,e^{pi }right}} è finito
perché la funzione f:{1,2,3}→A{displaystyle f:left{1,2,3right}rightarrow A} definita mediante f(1):=e, f(2):=π, f(3):=eπ{displaystyle f(1):=e, f(2):=pi , f(3):=e^{pi }} è una biiezione tra
3¯{displaystyle {bar {3}}} ed A{displaystyle A}.

Per poter definire il numero di elementi di un insieme finito ci occorre il
seguente risultato: se A{displaystyle A} è un insieme finito
ed esistono n,m{displaystyle n,m} numeri naturali e
f:n¯→A,g:m¯→A{displaystyle f:{bar {n}}rightarrow A,g:{bar {m}}rightarrow A} biiezioni allora n=m{displaystyle n=m}.

Questo fatto ci consente di definire il numero di elementi di un insieme
finito A{displaystyle A} come l'unico naturale
n{displaystyle n} tale che esiste una biiezione tra
n¯{displaystyle {bar {n}}} ed A{displaystyle A} (esiste
di certo per la definizione stessa di insieme finito ed è unico per il
risultato citato).

Tale numero si indica con #A{displaystyle #A} oppure con |A|{displaystyle |A|} e si dice talvolta cardinalità di A{displaystyle A}. Ora possiamo affermare a
rigore che l'insieme A={e,π,eπ}{displaystyle A=left{e,pi ,e^{pi }right}} dell'esempio ha 3{displaystyle 3}
elementi, cioè #A=3{displaystyle #A=3}. Altri esempi: #{7,−12,18,π}=4,#{1,2,1,1}=2{displaystyle #left{7,-12,18,pi right}=4,#left{1,2,1,1right}=2}; per definizione, inoltre, si pone #∅=0{displaystyle #emptyset =0} (dove ∅{displaystyle emptyset } denota l'insieme vuoto).
Un insieme si dice infinito se non è finito. Esistono altre definizioni di insieme infinito, equivalenti a questa, che si adoperano in matematica a seconda delle esigenze dimostrative.

Voci correlate |

• Infinito (matematica)


• Insieme infinito

Collegamenti esterni |

• 
  


• 
  Insieme finito, su thes.bncf.firenze.sbn.it, Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze.
  


• 
  (EN) Insieme finito, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
  

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