Тензор инерции




Тензор инерции — в механике абсолютно твёрдого тела — тензорная величина, связывающая момент импульса тела и кинетическую энергию его вращения с угловой скоростью:


 L→=Jω→{displaystyle {vec {L}}=J{vec {omega }}} {vec {L}}=J{vec {omega }}

где  J{displaystyle J} J — тензор инерции,  ω→{displaystyle {vec {omega }}} {vec {omega }} — угловая скорость, L→{displaystyle {vec {L}}}{vec {L}} — момент импульса


 Ekin rot=12 ω→T⋅J⋅ω→{displaystyle E_{kin rot}={1 over 2} {vec {omega }}^{,T}cdot Jcdot {vec {omega }}}{displaystyle E_{kin rot}={1 over 2} {vec {omega }}^{,T}cdot Jcdot {vec {omega }}}


 Ekin=Ekin rot+p22m{displaystyle E_{kin}=E_{kin rot}+{p^{2} over 2m}} E_{{kin}}=E_{{kin rot}}+{p^{2} over 2m},

в компонентах это выглядит так:



 Li=∑jJijωj{displaystyle L_{i}=sum _{j}J_{ij}omega _{j}} L_{i}=sum _{j}J_{{ij}}omega _{j}

 Ekin rot=12∑ijωiJijωj{displaystyle E_{kin rot}={1 over 2}sum _{ij}omega _{i}J_{ij}omega _{j}} E_{{kin rot}}={1 over 2}sum _{{ij}}omega _{i}J_{{ij}}omega _{j}


Используя определение момента импульса системы N материальных точек (перенумерованных в формулах ниже индексом k):


 L→=∑k=1N[ r→k×( mk v→k ) ]{displaystyle {vec {L}}=sum _{k=1}^{N}[ {vec {r}}_{k}times ( m_{k} {vec {v}}_{k} ) ]}{displaystyle {vec {L}}=sum _{k=1}^{N}[ {vec {r}}_{k}times ( m_{k} {vec {v}}_{k} ) ]}

и кинематическое выражение для скорости через угловую скорость:


 v→=[ ω→×r→ ]{displaystyle {vec {v}}=[ {vec {omega }}times {vec {r}} ]} {vec {v}}=[ {vec {omega }}times {vec {r}} ]

и сравнивая с формулой, выражающей момент импульса через тензор инерции и угловую скорость (первой в этой статье), нетрудно получить явное выражение для тензора инерции:


 Jij=∑k( mk (δijrk2−rikrjk) )){displaystyle J_{ij}=sum _{k}( m_{k} (delta _{ij}r_{k}^{2}-r_{i_{k}}r_{j_{k}}) ))}{displaystyle J_{ij}=sum _{k}( m_{k} (delta _{ij}r_{k}^{2}-r_{i_{k}}r_{j_{k}}) ))}

или в непрерывном виде:



 Jij=∫(δijr2−rirj )dm=∫(δijr2−rirj )ρdV{displaystyle J_{ij}=int (delta _{ij}r^{2}-r_{i}r_{j} )dm=int (delta _{ij}r^{2}-r_{i}r_{j} )rho dV} J_{{ij}}=int (delta _{{ij}}r^{2}-r_{i}r_{j} )dm=int (delta _{{ij}}r^{2}-r_{i}r_{j} )rho dV,

где r — расстояния от точек до центра, относительно которого вычисляется тензор инерции, а ri — координатные компоненты соответствующих отрезков, i и j — номера координат (от 1 до 3), индекс же k (от 1 до N) в дискретной формуле нумерует точки системы или маленькие части, её составляющие.


Уже из этих формул явно видно, что тензор инерции любого тела зависит от точки, относительно которой он рассчитан. Обычно выделенную роль играет тензор инерции относительно центра масс тела (тогда p в третьей формуле — это просто импульс тела). Также может быть удобно пользоваться моментом инерции, рассчитанным относительно закрепленной (неподвижной) точки тела или точки, находящейся на закреплённой оси вращения. Пересчёт тензора инерции для нового центра, зная его относительно старого, позволяет легко осуществить теорема Штейнера (она же позволяет сделать это и в виде пересчёта, например, формулы кинетической энергии, позволяя, таким образом, оперировать только тензором инерции относительно центра масс).


Из этих же формул видно, что это симметричный тензор, то есть Jij=Jji.


В непрерывном виде формулу можно вывести следующим образом:


L→=∫(m)[ r→×( v→dm ) ]=ρ∫(V)[ r→×[ ω→×r→ ] ]dV{displaystyle {vec {L}}=int limits _{(m)}[ {vec {r}}times ( {vec {v}}dm ) ]=rho int limits _{(V)}[ {vec {r}}times [ {vec {omega }}times {vec {r}} ] ]dV}{displaystyle {vec {L}}=int limits _{(m)}[ {vec {r}}times ( {vec {v}}dm ) ]=rho int limits _{(V)}[ {vec {r}}times [ {vec {omega }}times {vec {r}} ] ]dV}

Откуда по формуле Лагранжа получим


L→=ρ∫(V)[ ω→⋅r2−r→(ω→, r→) ]dV{displaystyle {vec {L}}=rho int limits _{(V)}[ {vec {omega }}cdot r^{2}-{vec {r}}({vec {omega }}, {vec {r}}) ]dV}{displaystyle {vec {L}}=rho int limits _{(V)}[ {vec {omega }}cdot r^{2}-{vec {r}}({vec {omega }}, {vec {r}}) ]dV}

Запишем разложение векторов  v→{displaystyle {vec {v}}}{displaystyle {vec {v}}} и  r→{displaystyle {vec {r}}}{displaystyle {vec {r}}} в ортонормированном базисе:



 r→=xi→+yj→+zk→{displaystyle {vec {r}}=x{vec {i}}+y{vec {j}}+z{vec {k}}}{displaystyle {vec {r}}=x{vec {i}}+y{vec {j}}+z{vec {k}}}

 ω→=ωxi→+ωyj→+ωzk→{displaystyle {vec {omega }}=omega _{x}{vec {i}}+omega _{y}{vec {j}}+omega _{z}{vec {k}}}{displaystyle {vec {omega }}=omega _{x}{vec {i}}+omega _{y}{vec {j}}+omega _{z}{vec {k}}}


По свойствам скалярного произведения,


 (ω→, r→)=xωx+yωy+zωz{displaystyle ({vec {omega }}, {vec {r}})=xomega _{x}+yomega _{y}+zomega _{z}}{displaystyle ({vec {omega }}, {vec {r}})=xomega _{x}+yomega _{y}+zomega _{z}}

С учетом того, что  r2=x2+y2+z2{displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}{displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}} можем записать проекции вектора момента импульса на оси:


Lx=ρ∫(V)(ωx(x2+y2+z2)−x(xωx+yωy+zωz))dV{displaystyle L_{x}=rho int limits _{(V)}left(omega _{x}(x^{2}+y^{2}+z^{2})-x(xomega _{x}+yomega _{y}+zomega _{z})right)dV}{displaystyle L_{x}=rho int limits _{(V)}left(omega _{x}(x^{2}+y^{2}+z^{2})-x(xomega _{x}+yomega _{y}+zomega _{z})right)dV}

Или, приведя подобные слагаемые


Lx=ρ∫(V)(ωx(y2+z2)−ωyxy−ωzxz)dV{displaystyle L_{x}=rho int limits _{(V)}left(omega _{x}(y^{2}+z^{2})-omega _{y}xy-omega _{z}xzright)dV}{displaystyle L_{x}=rho int limits _{(V)}left(omega _{x}(y^{2}+z^{2})-omega _{y}xy-omega _{z}xzright)dV}

Аналогично



Ly=ρ∫(V)(ωy(x2+z2)−ωxyx−ωzyz)dV{displaystyle L_{y}=rho int limits _{(V)}left(omega _{y}(x^{2}+z^{2})-omega _{x}yx-omega _{z}yzright)dV}{displaystyle L_{y}=rho int limits _{(V)}left(omega _{y}(x^{2}+z^{2})-omega _{x}yx-omega _{z}yzright)dV}

Lz=ρ∫(V)(ωz(x2+y2)−ωxzx−ωyzy)dV{displaystyle L_{z}=rho int limits _{(V)}left(omega _{z}(x^{2}+y^{2})-omega _{x}zx-omega _{y}zyright)dV}{displaystyle L_{z}=rho int limits _{(V)}left(omega _{z}(x^{2}+y^{2})-omega _{x}zx-omega _{y}zyright)dV}


Введем обозначения:



Jxx=ρ∫(V)(y2+z2)dV{displaystyle J_{xx}=rho int limits _{(V)}(y^{2}+z^{2})dV}{displaystyle J_{xx}=rho int limits _{(V)}(y^{2}+z^{2})dV}

Jyy=ρ∫(V)(x2+z2)dV{displaystyle J_{yy}=rho int limits _{(V)}(x^{2}+z^{2})dV}{displaystyle J_{yy}=rho int limits _{(V)}(x^{2}+z^{2})dV}

Jzz=ρ∫(V)(x2+y2)dV{displaystyle J_{zz}=rho int limits _{(V)}(x^{2}+y^{2})dV}{displaystyle J_{zz}=rho int limits _{(V)}(x^{2}+y^{2})dV}



Jxy=Jyx=−ρ∫(V)xydV{displaystyle J_{xy}=J_{yx}=-rho int limits _{(V)}xydV}{displaystyle J_{xy}=J_{yx}=-rho int limits _{(V)}xydV}

Jxz=Jzx=−ρ∫(V)xzdV{displaystyle J_{xz}=J_{zx}=-rho int limits _{(V)}xzdV}{displaystyle J_{xz}=J_{zx}=-rho int limits _{(V)}xzdV}

Jyz=Jzy=−ρ∫(V)yzdV{displaystyle J_{yz}=J_{zy}=-rho int limits _{(V)}yzdV}{displaystyle J_{yz}=J_{zy}=-rho int limits _{(V)}yzdV}


Из них можно составить тензор инерции в матричном виде:


J=|JxxJxyJxzJyxJyyJyzJzxJzyJzz|{displaystyle J={begin{vmatrix}J_{xx}&J_{xy}&J_{xz}\J_{yx}&J_{yy}&J_{yz}\J_{zx}&J_{zy}&J_{zz}\end{vmatrix}}}{displaystyle J={begin{vmatrix}J_{xx}&J_{xy}&J_{xz}\J_{yx}&J_{yy}&J_{yz}\J_{zx}&J_{zy}&J_{zz}\end{vmatrix}}}

Легко проверить, что согласно нашим обозначениям, верна тензорная связь:


{Lx=Jxxωx+Jxyωy+JxzωzLy=Jyxωx+Jyyωy+JyzωzLz=Jzxωx+Jzyωy+Jzzωz{displaystyle left{{begin{aligned}L_{x}=J_{xx}omega _{x}+J_{xy}omega _{y}+J_{xz}omega _{z}\L_{y}=J_{yx}omega _{x}+J_{yy}omega _{y}+J_{yz}omega _{z}\L_{z}=J_{zx}omega _{x}+J_{zy}omega _{y}+J_{zz}omega _{z}\end{aligned}}right.}{displaystyle left{{begin{aligned}L_{x}=J_{xx}omega _{x}+J_{xy}omega _{y}+J_{xz}omega _{z}\L_{y}=J_{yx}omega _{x}+J_{yy}omega _{y}+J_{yz}omega _{z}\L_{z}=J_{zx}omega _{x}+J_{zy}omega _{y}+J_{zz}omega _{z}\end{aligned}}right.}

Как и любой симметричный тензор, тензор инерции может быть диагонализован, то есть можно найти три ортогональные оси координат (собственные оси, орты которых являются собственными векторами и образуют собственный базис тензора инерции) — жестко связанные, конечно, с твёрдым телом, — в которых матрица тензора инерции диагональна, и её собственные числа (собственные числа тензора инерции) определяют главные моменты инерции тела[1].


Нетрудно видеть, что главные моменты инерции совпадают с осевыми моментами инерции относительно главных осей:




 Jxx=∫(y2+z2)dm=∫ryz2dm{displaystyle J_{xx}=int (y^{2}+z^{2})dm=int r_{yz}^{2}dm} J_{{xx}}=int (y^{2}+z^{2})dm=int r_{{yz}}^{2}dm,


 Jyy=∫(x2+z2)dm=∫rxz2dm{displaystyle J_{yy}=int (x^{2}+z^{2})dm=int r_{xz}^{2}dm} J_{{yy}}=int (x^{2}+z^{2})dm=int r_{{xz}}^{2}dm,


 Jzz=∫(x2+y2)dm=∫rxy2dm{displaystyle J_{zz}=int (x^{2}+y^{2})dm=int r_{xy}^{2}dm} J_{{zz}}=int (x^{2}+y^{2})dm=int r_{{xy}}^{2}dm,


(внимание: x, y и z в этих формулах подразумевают именно главные оси, если мы хотим совпадения с главными моментами).



  • Все формулы этой статьи предполагали использование ортонормированного базиса, поэтому используются только нижние тензорные индексы, так как в этом случае между верхними и нижними индексами нет разницы.

  • Тензор инерции можно считать обобщением понятия момента инерции относительно оси; связь этих величин — см. в статье Момент инерции (там собственные числа тензора инерции обозначены как JX,JY,JZ{displaystyle J_{X},J_{Y},J_{Z}}{displaystyle J_{X},J_{Y},J_{Z}}). При чтении статьи по ссылке следует иметь в виду некоторое различие обозначений, так, в той статье Jxy,Jyz,Jzx{displaystyle J_{xy},J_{yz},J_{zx}}{displaystyle J_{xy},J_{yz},J_{zx}} обозначены не соответствующие компоненты тензора инерции, а центробежные моменты инерции, которые совпадают по модулю с соответствующими компонентами тензора, но имеют противоположный знак.



Другие применения термина |


Иногда термин тензор инерции применяется к математически аналогичным конструкциям, не имеющим прямого механического смысла, например, если ρ в формулах — не плотность массы, а плотность других величин, например, плотность статистического распределения; да и пространство, в котором происходит расчет может быть в принципе любым, хотя при этом наиболее осмыслен случай одинаковой природы всех осей (то есть одинаковых единиц измерения по ним). Это применение термина представляет собой прямую геометрическую аналогию, так же, как применение таких терминов, как центр масс или центр тяжести в подобном контексте.


В случае применения термина тензор инерции к плотностям распределений, особенно если он считается относительно «центра тяжести», речь идет по сути о матрице ковариации, причем задача нахождения её собственных векторов и собственных чисел также может обсуждаться в терминах «главных осей» и «главных моментов», что соответствует не только аналогии с моментом инерции, но и вполне строгой терминологии вторых моментов многомерного распределения (многомерной случайной величины) в статистике (и суть, и терминология здесь могут быть очень близки). При этом, в двумерном случае тензор инерции и матрица ковариации в собственных осях полностью совпадают — с точностью до перестановки осей, а в случаях большей размерности речь идет не о совпадающих, а только о близко связанных формально и по смыслу матрицах, диагонализующихся при этом в одном и том же базисе (имеющих одни и те же собственные оси).



См. также |



  • Момент инерции

  • Теорема Штейнера


  • Тензор гирации (англ.)



Примечания |





  1. ↑ Шаховал С. Н., Мельников Г. И.//ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРОВ ИНЕРЦИИ ТЕЛ НА СФЕРИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЯХ С МЕДЛЕННЫМ СОБСТВЕННЫМ ВРАЩЕНИЕМ.- Статья. - Научно-технический вестник ИТМО. - январь-февраль 2012. - Выпуск 1(77). - УДК 681.5 + 531









-

Popular posts from this blog

Сан-Квентин

Image
Сан-Квентин Местоположение Сан-Квентин, Калифорния Координаты 37°56′13″ с. ш. 122°29′20″ з. д. H G Я O L Текущий статус Действует Режим безопасности минимальный и максимальный Количество мест 3 302 Открытие Июнь 1852 Находится в ведомстве California Department of Corrections and Rehabilitation Начальник Mike Martel, начальник  Сан-Квентин на Викискладе Сан-Квентин (англ.  San Quentin ) — тюрьма, располагающаяся на 432 акрах (около 1,7 км²), на мысе Сан-Квентин, в округе Марин, штат Калифорния, США. Тюрьма штата Калифорния Сан-Квентин была открыта в июле 1852 года и является старейшей в штате. Она была построена заключёнными, которые проживали в течение строительства на тюремном судне Вабан. В Сан-Квентине отбывали наказание и мужчины, и женщины до 1934 года, когда построили женскую тюрьму в Техачапи и туда перевели всех заключённых женщин. В Сан-Квентине приводятся в исполнение смертные казни, для этого имеется газовая камера, но...
Read more

8-я гвардейская общевойсковая армия

Image
8-я гвардейская общевойсковая ордена Ленина армия Награды: Войска: РККА → Советская армия → СВ России Род войск: Формирование: 1943 Расформирование (преобразование): 1992 Предшественник: 62-я армия (1942—43) → 8-я гвардейская общевойсковая армия (1943—92) → 8-й гвардейский армейский корпус (1992—98) Боевой путь Изюм-Барвенковская операция Донбасская операция Запорожская операция Битва за Днепр Днепропетровская операция Березнеговато-Снигирёвская операция Одесская операция Люблин-Брестская операция Варшавско-Познанская операция Восточно-Померанская операция Берлинская наступательная операция У этого термина существуют и другие значения, см. 8-я армия. Фотография Гвардейского Красного Знамени (лицевая сторона) 8-й гвардейской армии , образца 1943 года. Фотография Гвардейского Красного Знамени (оборотная сторона) 8-й гвардейской армии , образца 1943 года. 8-я гвардейская общевойсковая ордена Ленина армия  — гвардейское фор...
Read more

Алькесар

Image
Муниципалитет Алькесар Alquézar Герб 42°10′16″ с. ш. 0°01′27″ в. д. H G Я O L Страна Испания   Испания Автономное сообщество Арагон Провинция Уэска Комарка Сомонтано-де-Барбастро Алькальд Хосе Марияно Альтемир Ласкорс (ИСРП) История и география Площадь 32,36 км² Высота НУМ 660 м Часовой пояс UTC+1, летом UTC+2 Население Население 313 человек ( 2010 ) Плотность 9,92 чел./км² Этнохороним alquezarano/-a Цифровые идентификаторы Телефонный код +34 974 Почтовые индексы 22112 Автомобильный код HU alquezar.org   (исп.) Показать/скрыть карты Алькесар Алькесар Алькесар  Аудио, фото и видео на Викискладе Алькесар (исп.  Alquézar ) — муниципалитет в Испании, входит в провинцию Уэска, в составе автономного сообщества Арагон. Муниципалитет находится в составе района (комарки) Сомонтано-де-Барбастро. Занимает площадь 32,36 км². Население — 321 челове...
Read more