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In matematica, un'operazione binaria ∗{displaystyle *} definita su un insieme S{displaystyle S} è commutativa se

x∗y=y∗xper ogni x,y∈S.{displaystyle x*y=y*xqquad {mbox{per ogni }}x,yin S.}

per ogni coppia di elementi x{displaystyle x} e y{displaystyle y} in S{displaystyle S}. Se questa proprietà non è valida per ogni coppia di elementi, l'operazione è quindi detta non commutativa.

Due elementi x{displaystyle x} e y{displaystyle y} commutano se x∗y=y∗x{displaystyle x*y=y*x}. Quindi l'operazione ∗{displaystyle *} è commutativa se e solo se due elementi di S{displaystyle S} commutano sempre.

Esempi |

Operazioni commutative |

I più comuni esempi di operazioni binarie commutative sono l'addizione (a+b{displaystyle a+b}) e la moltiplicazione (a×b{displaystyle atimes b}), considerate sull'insieme di tutti i numeri reali, o solo sui numeri positivi, naturali o razionali, oppure estese ai numeri complessi; per esempio:

4+5=5+4{displaystyle 4+5=5+4} (poiché entrambe le espressioni sono uguali a 9)

2×3=3×2{displaystyle 2times 3=3times 2} (poiché entrambe le espressioni valgono 6)

Altre operazioni binarie commutative sono:

• 
  minimo comune multiplo e massimo comun divisore applicati a coppie di interi positivi;


• minimo e massimo applicati a coppie di numeri reali o in generale a coppie di elementi di insiemi parzialmente ordinati;


• addizione di vettori;


• 
  intersezione e unione di insiemi.


• 
  congiunzione logica e disgiunzione inclusiva.


• 
  composizioni di traslazioni nel piano, nello spazio tridimensionale o in un qualsiasi spazio vettoriale;


• composizioni di rotazioni intorno ad un dato punto nel piano.

Operazioni non commutative |

Tra le operazioni binarie non commutative tra numeri vi sono la sottrazione (a−b{displaystyle a-b}), la divisione (a/b{displaystyle a/b}) e l'elevamento a potenza (ab{displaystyle a^{b}}), definite su insiemi opportuni di numeri reali.

Anche la composizione di funzioni (f(g(x)){displaystyle f(g(x))}) in molti contesti non è commutativa: ad esempio le funzioni reali f(x)=x+3{displaystyle f(x)=x+3} e g(y)=y2{displaystyle g(y)=y^{2}} non commutano, in quanto

g(f(x))=x2+6x+9,{displaystyle g(f(x))=x^{2}+6x+9,}

f(g(x))=x2+3.{displaystyle f(g(x))=x^{2}+3.}

Un'altra importante operazione non commutativa è la moltiplicazione fra matrici quadrate. Ad esempio,

[0100]×[0010]=[1000]{displaystyle {begin{bmatrix}0&1\0&0end{bmatrix}}times {begin{bmatrix}0&0\1&0end{bmatrix}}={begin{bmatrix}1&0\0&0end{bmatrix}}}

[0010]×[0100]=[0001]{displaystyle {begin{bmatrix}0&0\1&0end{bmatrix}}times {begin{bmatrix}0&1\0&0end{bmatrix}}={begin{bmatrix}0&0\0&1end{bmatrix}}}

Strutture algebriche con operazioni commutative |

Un gruppo è abeliano, o anche commutativo, se l'operazione che vi è definita è commutativa.

Un anello ha definite due operazioni, chiamate generalmente "somma" e "prodotto" in analogia con i numeri interi. L'operazione di "somma" è sempre commutativa, ma l'operazione "prodotto" no. Un anello è chiamato abeliano o commutativo se anche la moltiplicazione è commutativa.

Generalmente, le strutture algebriche abeliane sono molto più semplici delle analoghe non abeliane.

Tavola di composizione |

Un'operazione è commutativa se e solo se la sua tavola di composizione è simmetrica. Per esempio le tavole di composizione delle operazioni minimo comune multiplo e massimo comun divisore per l'insieme dei numeri interi da 1 a 6 sono

[123456226410636312156441242012510152053066612306]{displaystyle {begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6\2&2&6&4&10&6\3&6&3&12&15&6\4&4&12&4&20&12\5&10&15&20&5&30\6&6&6&12&30&6\end{bmatrix}}}
e
[111111121212113113121412111151123216]{displaystyle {begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1\1&2&1&2&1&2\1&1&3&1&1&3\1&2&1&4&1&2\1&1&1&1&5&1\1&2&3&2&1&6\end{bmatrix}}}

Voci correlate |

• Associatività


• Distributività


• Commutatore (matematica)

Altri progetti |

• 
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