Arithmetic mean geometric mean inequality unclear












1












$begingroup$


I know that the AM-GM inequality takes the form $$ frac{x + y}{2} geq sqrt{xy},$$ but I read in a book another form which is $$ frac{x^2 + y^2}{2} geq |xy|,$$ but I am wondering how the second comes from the first? could anyone explain this for me please?






calculus inequality







share|cite|improve this question











$endgroup$

















    1












    $begingroup$


    I know that the AM-GM inequality takes the form $$ frac{x + y}{2} geq sqrt{xy},$$ but I read in a book another form which is $$ frac{x^2 + y^2}{2} geq |xy|,$$ but I am wondering how the second comes from the first? could anyone explain this for me please?






    calculus inequality







    share|cite|improve this question











    $endgroup$















      1












      1








      1


      1



      $begingroup$


      I know that the AM-GM inequality takes the form $$ frac{x + y}{2} geq sqrt{xy},$$ but I read in a book another form which is $$ frac{x^2 + y^2}{2} geq |xy|,$$ but I am wondering how the second comes from the first? could anyone explain this for me please?






      calculus inequality







      share|cite|improve this question











      $endgroup$




      I know that the AM-GM inequality takes the form $$ frac{x + y}{2} geq sqrt{xy},$$ but I read in a book another form which is $$ frac{x^2 + y^2}{2} geq |xy|,$$ but I am wondering how the second comes from the first? could anyone explain this for me please?






      calculus inequality




      calculus inequality






      share|cite|improve this question















      share|cite|improve this question













      share|cite|improve this question




      share|cite|improve this question








      edited 5 hours ago









      Bernard

      123k741117




      123k741117










      asked 5 hours ago









      hopefullyhopefully

      274114




      274114






















          2 Answers
          2






          active

          oldest

          votes


















          4












          $begingroup$

          If you plug $x=X^2$, $y=Y^2$ into the first inequality you get
          $$frac{X^2+Y^2}{2} ge sqrt{X^2Y^2} = sqrt{(XY)^2}=|XY|,$$
          which is the second inequality (modulo capitalization).






          share|cite|improve this answer









          $endgroup$





















            3












            $begingroup$

            The AM-GM inequality for $n$ non-negative values is



            $frac1{n}(sum_{k=1}^n x_k)
            ge (prod_{k=1}^n x_k)^{1/n}
            $            .



            This can be rewritten in two ways.



            First,
            by simple algebra,



            $(sum_{k=1}^n x_i)^n
            ge n^n(prod_{k=1}^n x_k)
            $            .



            Second,
            letting $x_k = y_k^n$,
            this becomes



            $frac1{n}(sum_{k=1}^n y_k^n)
            ge prod_{k=1}^n y_k
            $            .



            It is useful to recognize
            these disguises.






            share|cite|improve this answer









            $endgroup$













              Your Answer





              StackExchange.ifUsing("editor", function () {
              return StackExchange.using("mathjaxEditing", function () {
              StackExchange.MarkdownEditor.creationCallbacks.add(function (editor, postfix) {
              StackExchange.mathjaxEditing.prepareWmdForMathJax(editor, postfix, [["$", "$"], ["\\(","\\)"]]);
              });
              });
              }, "mathjax-editing");

              StackExchange.ready(function() {
              var channelOptions = {
              tags: "".split(" "),
              id: "69"
              };
              initTagRenderer("".split(" "), "".split(" "), channelOptions);

              StackExchange.using("externalEditor", function() {
              // Have to fire editor after snippets, if snippets enabled
              if (StackExchange.settings.snippets.snippetsEnabled) {
              StackExchange.using("snippets", function() {
              createEditor();
              });
              }
              else {
              createEditor();
              }
              });

              function createEditor() {
              StackExchange.prepareEditor({
              heartbeatType: 'answer',
              autoActivateHeartbeat: false,
              convertImagesToLinks: true,
              noModals: true,
              showLowRepImageUploadWarning: true,
              reputationToPostImages: 10,
              bindNavPrevention: true,
              postfix: "",
              imageUploader: {
              brandingHtml: "Powered by u003ca class="icon-imgur-white" href="https://imgur.com/"u003eu003c/au003e",
              contentPolicyHtml: "User contributions licensed under u003ca href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/"u003ecc by-sa 3.0 with attribution requiredu003c/au003e u003ca href="https://stackoverflow.com/legal/content-policy"u003e(content policy)u003c/au003e",
              allowUrls: true
              },
              noCode: true, onDemand: true,
              discardSelector: ".discard-answer"
              ,immediatelyShowMarkdownHelp:true
              });


              }
              });














              draft saved

              draft discarded


















              StackExchange.ready(
              function () {
              StackExchange.openid.initPostLogin('.new-post-login', 'https%3a%2f%2fmath.stackexchange.com%2fquestions%2f3165273%2farithmetic-mean-geometric-mean-inequality-unclear%23new-answer', 'question_page');
              }
              );

              Post as a guest















              Required, but never shown

























              2 Answers
              2






              active

              oldest

              votes








              2 Answers
              2






              active

              oldest

              votes









              active

              oldest

              votes






              active

              oldest

              votes









              4












              $begingroup$

              If you plug $x=X^2$, $y=Y^2$ into the first inequality you get
              $$frac{X^2+Y^2}{2} ge sqrt{X^2Y^2} = sqrt{(XY)^2}=|XY|,$$
              which is the second inequality (modulo capitalization).






              share|cite|improve this answer









              $endgroup$


















                4












                $begingroup$

                If you plug $x=X^2$, $y=Y^2$ into the first inequality you get
                $$frac{X^2+Y^2}{2} ge sqrt{X^2Y^2} = sqrt{(XY)^2}=|XY|,$$
                which is the second inequality (modulo capitalization).






                share|cite|improve this answer









                $endgroup$
















                  4












                  4








                  4





                  $begingroup$

                  If you plug $x=X^2$, $y=Y^2$ into the first inequality you get
                  $$frac{X^2+Y^2}{2} ge sqrt{X^2Y^2} = sqrt{(XY)^2}=|XY|,$$
                  which is the second inequality (modulo capitalization).






                  share|cite|improve this answer









                  $endgroup$



                  If you plug $x=X^2$, $y=Y^2$ into the first inequality you get
                  $$frac{X^2+Y^2}{2} ge sqrt{X^2Y^2} = sqrt{(XY)^2}=|XY|,$$
                  which is the second inequality (modulo capitalization).







                  share|cite|improve this answer












                  share|cite|improve this answer



                  share|cite|improve this answer










                  answered 5 hours ago









                  jgonjgon

                  16k32143




                  16k32143























                      3












                      $begingroup$

                      The AM-GM inequality for $n$ non-negative values is



                      $frac1{n}(sum_{k=1}^n x_k)
                      ge (prod_{k=1}^n x_k)^{1/n}
                      $                      .



                      This can be rewritten in two ways.



                      First,
                      by simple algebra,



                      $(sum_{k=1}^n x_i)^n
                      ge n^n(prod_{k=1}^n x_k)
                      $                      .



                      Second,
                      letting $x_k = y_k^n$,
                      this becomes



                      $frac1{n}(sum_{k=1}^n y_k^n)
                      ge prod_{k=1}^n y_k
                      $                      .



                      It is useful to recognize
                      these disguises.






                      share|cite|improve this answer









                      $endgroup$


















                        3












                        $begingroup$

                        The AM-GM inequality for $n$ non-negative values is



                        $frac1{n}(sum_{k=1}^n x_k)
                        ge (prod_{k=1}^n x_k)^{1/n}
                        $                        .



                        This can be rewritten in two ways.



                        First,
                        by simple algebra,



                        $(sum_{k=1}^n x_i)^n
                        ge n^n(prod_{k=1}^n x_k)
                        $                        .



                        Second,
                        letting $x_k = y_k^n$,
                        this becomes



                        $frac1{n}(sum_{k=1}^n y_k^n)
                        ge prod_{k=1}^n y_k
                        $                        .



                        It is useful to recognize
                        these disguises.






                        share|cite|improve this answer









                        $endgroup$
















                          3












                          3








                          3





                          $begingroup$

                          The AM-GM inequality for $n$ non-negative values is



                          $frac1{n}(sum_{k=1}^n x_k)
                          ge (prod_{k=1}^n x_k)^{1/n}
                          $                          .



                          This can be rewritten in two ways.



                          First,
                          by simple algebra,



                          $(sum_{k=1}^n x_i)^n
                          ge n^n(prod_{k=1}^n x_k)
                          $                          .



                          Second,
                          letting $x_k = y_k^n$,
                          this becomes



                          $frac1{n}(sum_{k=1}^n y_k^n)
                          ge prod_{k=1}^n y_k
                          $                          .



                          It is useful to recognize
                          these disguises.






                          share|cite|improve this answer









                          $endgroup$



                          The AM-GM inequality for $n$ non-negative values is



                          $frac1{n}(sum_{k=1}^n x_k)
                          ge (prod_{k=1}^n x_k)^{1/n}
                          $                          .



                          This can be rewritten in two ways.



                          First,
                          by simple algebra,



                          $(sum_{k=1}^n x_i)^n
                          ge n^n(prod_{k=1}^n x_k)
                          $                          .



                          Second,
                          letting $x_k = y_k^n$,
                          this becomes



                          $frac1{n}(sum_{k=1}^n y_k^n)
                          ge prod_{k=1}^n y_k
                          $                          .



                          It is useful to recognize
                          these disguises.







                          share|cite|improve this answer












                          share|cite|improve this answer



                          share|cite|improve this answer










                          answered 5 hours ago









                          marty cohenmarty cohen

                          74.9k549130




                          74.9k549130






























                              draft saved

                              draft discarded




















































                              Thanks for contributing an answer to Mathematics Stack Exchange!


                              • Please be sure to answer the question. Provide details and share your research!

                              But avoid …



                              • Asking for help, clarification, or responding to other answers.

                              • Making statements based on opinion; back them up with references or personal experience.


                              Use MathJax to format equations. MathJax reference.


                              To learn more, see our tips on writing great answers.




                              draft saved


                              draft discarded














                              StackExchange.ready(
                              function () {
                              StackExchange.openid.initPostLogin('.new-post-login', 'https%3a%2f%2fmath.stackexchange.com%2fquestions%2f3165273%2farithmetic-mean-geometric-mean-inequality-unclear%23new-answer', 'question_page');
                              }
                              );

                              Post as a guest















                              Required, but never shown





















































                              Required, but never shown














                              Required, but never shown












                              Required, but never shown







                              Required, but never shown

































                              Required, but never shown














                              Required, but never shown












                              Required, but never shown







                              Required, but never shown







                              -

                              Popular posts from this blog

                              Сан-Квентин

                              Image
                              Сан-Квентин Местоположение Сан-Квентин, Калифорния Координаты 37°56′13″ с. ш. 122°29′20″ з. д. H G Я O L Текущий статус Действует Режим безопасности минимальный и максимальный Количество мест 3 302 Открытие Июнь 1852 Находится в ведомстве California Department of Corrections and Rehabilitation Начальник Mike Martel, начальник  Сан-Квентин на Викискладе Сан-Квентин (англ.  San Quentin ) — тюрьма, располагающаяся на 432 акрах (около 1,7 км²), на мысе Сан-Квентин, в округе Марин, штат Калифорния, США. Тюрьма штата Калифорния Сан-Квентин была открыта в июле 1852 года и является старейшей в штате. Она была построена заключёнными, которые проживали в течение строительства на тюремном судне Вабан. В Сан-Квентине отбывали наказание и мужчины, и женщины до 1934 года, когда построили женскую тюрьму в Техачапи и туда перевели всех заключённых женщин. В Сан-Квентине приводятся в исполнение смертные казни, для этого имеется газовая камера, но...
                              Read more

                              8-я гвардейская общевойсковая армия

                              Image
                              8-я гвардейская общевойсковая ордена Ленина армия Награды: Войска: РККА → Советская армия → СВ России Род войск: Формирование: 1943 Расформирование (преобразование): 1992 Предшественник: 62-я армия (1942—43) → 8-я гвардейская общевойсковая армия (1943—92) → 8-й гвардейский армейский корпус (1992—98) Боевой путь Изюм-Барвенковская операция Донбасская операция Запорожская операция Битва за Днепр Днепропетровская операция Березнеговато-Снигирёвская операция Одесская операция Люблин-Брестская операция Варшавско-Познанская операция Восточно-Померанская операция Берлинская наступательная операция У этого термина существуют и другие значения, см. 8-я армия. Фотография Гвардейского Красного Знамени (лицевая сторона) 8-й гвардейской армии , образца 1943 года. Фотография Гвардейского Красного Знамени (оборотная сторона) 8-й гвардейской армии , образца 1943 года. 8-я гвардейская общевойсковая ордена Ленина армия  — гвардейское фор...
                              Read more

                              Алькесар

                              Image
                              Муниципалитет Алькесар Alquézar Герб 42°10′16″ с. ш. 0°01′27″ в. д. H G Я O L Страна Испания   Испания Автономное сообщество Арагон Провинция Уэска Комарка Сомонтано-де-Барбастро Алькальд Хосе Марияно Альтемир Ласкорс (ИСРП) История и география Площадь 32,36 км² Высота НУМ 660 м Часовой пояс UTC+1, летом UTC+2 Население Население 313 человек ( 2010 ) Плотность 9,92 чел./км² Этнохороним alquezarano/-a Цифровые идентификаторы Телефонный код +34 974 Почтовые индексы 22112 Автомобильный код HU alquezar.org   (исп.) Показать/скрыть карты Алькесар Алькесар Алькесар  Аудио, фото и видео на Викискладе Алькесар (исп.  Alquézar ) — муниципалитет в Испании, входит в провинцию Уэска, в составе автономного сообщества Арагон. Муниципалитет находится в составе района (комарки) Сомонтано-де-Барбастро. Занимает площадь 32,36 км². Население — 321 челове...
                              Read more