Gfrktyl

Гравитацио́нное по́ле, или по́ле тяготе́ния, — фундаментальное физическое поле, через которое осуществляется гравитационное взаимодействие между всеми материальными телами^[1].

Гравитационное поле в классической физике |

Закон всемирного тяготения Ньютона |

Закон тяготения Ньютона

Основная статья: Классическая теория тяготения Ньютона

В рамках классической физики гравитационное взаимодействие описывается «законом всемирного тяготения» Ньютона, согласно которому сила гравитационного притяжения между двумя материальными точками с массами m1{displaystyle m_{1}} и m2{displaystyle m_{2}} пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

F=Gm1m2r2.{displaystyle F=G{frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}.}

Здесь G{displaystyle G} — гравитационная постоянная, приблизительно равная 6,673⋅10−11{displaystyle 6{,}673cdot 10^{-11}} м³/(кг с²), r{displaystyle r} — расстояние между точками.

Решение задачи динамики в общем случае, когда тяготеющие массы нельзя считать материальными точками, подразделяется на два этапа: вначале рассчитывается гравитационное поле, создаваемое этими массами, а затем определяется его действие на массивные тела в изучаемой системе.

Расчёт гравитационного потенциала |

Основная статья: Гравитационный потенциал

Гравитационное поле является потенциальным. Его потенциал φ(r){displaystyle varphi (mathbf {r} )} удовлетворяет уравнению Пуассона

Δφ(r)=−4πGρ(r){displaystyle Delta varphi (mathbf {r} )=-4pi Grho (mathbf {r} )},

где Δ{displaystyle Delta } — оператор Лапласа. Решение данного уравнения имеет вид:

φ(r)=−G∫V′ρ(r′)dV′|r−r′|{displaystyle varphi (mathbf {r} )=-Gint _{V^{prime }}{frac {rho (mathbf {r} ^{prime })dV^{prime }}{|mathbf {r} -mathbf {r} ^{prime }|}}}.

Здесь r{displaystyle mathbf {r} } — радиус-вектор точки, в которой определяется потенциал, r′{displaystyle mathbf {r} ^{prime }} — радиус-вектор элемента объёма dV′{displaystyle dV^{prime }} c плотностью вещества ρ(r′){displaystyle rho (mathbf {r} ^{prime })}, а интегрирование охватывает все такие элементы. На бесконечности φ=0{displaystyle varphi =0}.

В частном случае поля, создаваемого расположенной в начале координат точечной массой M{displaystyle M}, потенциал равен

φ(r)=−GMr{displaystyle varphi (mathbf {r} )=-G{frac {M}{r}}}.

Этим же выражением описывается потенциал тела со сферически-симметрично распределённой массой M{displaystyle M}, за его пределами.

В общем случае тела произвольной формы на больших расстояниях от него неплохое приближение для потенциала даёт формула^[2]:

φ(r)=−G(Mr+A+B+C−3I2r3),{displaystyle varphi (mathbf {r} )=-Gleft({frac {M}{r}}+{frac {A+B+C-3I}{2r^{3}}}right),}

где за начало координат принят центр масс тела, A,B,C{displaystyle A,B,C} — главные моменты инерции тела, I{displaystyle I} — момент инерции относительно оси r{displaystyle mathbf {r} }.
Эта формула несколько упрощается для астрономических объектов, представляющих собой сплюснутые сфероиды вращения с концентрически однородным распределением масс. У таких тел A=B{displaystyle A=B} и I=A+(C−A)sin2⁡α,{displaystyle I=A+(C-A)sin ^{2}alpha ,} где α{displaystyle alpha } — угол между r{displaystyle mathbf {r} } и плоскостью главных осей A{displaystyle A} и B{displaystyle B}. В итоге

φ(r)=−G(Mr+C−A2r3(1−3sin2⁡α)).{displaystyle varphi (mathbf {r} )=-Gleft({frac {M}{r}}+{frac {C-A}{2r^{3}}}(1-3sin ^{2}alpha )right).}

Движение в гравитационном поле |

Если потенциал поля определён, то сила притяжения, действующая в гравитационном поле на материальную точку с массой m{displaystyle m}, находится по формуле:

F(r)=−m∇φ(r)=−Gm∫V′ρ(r′)(r−r′)dV′|r−r′|3{displaystyle mathbf {F} (mathbf {r} )=-mnabla varphi (mathbf {r} )=-Gmint _{V^{prime }}{frac {rho (mathbf {r} ^{prime })(mathbf {r} -mathbf {r} ^{prime })dV^{prime }}{|mathbf {r} -mathbf {r} ^{prime }|^{3}}}}.

В частном случае поля точечной массы M{displaystyle M}, расположенной в начале координат (r′=0{displaystyle mathbf {r} ^{prime }=mathbf {0} }), действующая сила составит

F(r)=−GmMr3r{displaystyle mathbf {F} (mathbf {r} )=-G,{frac {mM}{r^{3}}},mathbf {r} }.

Траектория материальной точки в гравитационном поле, создаваемом много большей по массе материальной точкой, подчиняется законам Кеплера. В частности, планеты и кометы в Солнечной системе движутся по эллипсам или гиперболам. Влияние других планет, искажающее эту картину, можно учесть с помощью теории возмущений.

Если исследуемое тело нельзя рассматривать как материальную точку, то его движение в гравитационном поле включает также вращение вокруг оси, проходящей через центр масс^[3]:

dHdt=K.{displaystyle {frac {dmathbf {H} }{dt}}=mathbf {K} .}

Здесь:
H{displaystyle mathbf {H} } — угловой момент относительно центра масс,
K{displaystyle mathbf {K} } — равнодействующая моментов действующих сил относительно центра масс.
Более общий случай, когда масса исследуемого тела сравнима с массой источника поля, известен как задача двух тел, и её формулировка сводится к системе двух независимых движений. Исследование движения более чем двух тел («задача трёх тел») разрешимо только в нескольких специальных случаях.

Недостатки ньютоновской модели тяготения |

Практика показала, что классический закон всемирного тяготения позволяет с огромной точностью объяснить и предсказать движения небесных тел. Однако ньютоновская теория содержала ряд серьёзных недостатков. Главный из них — необъяснимое дальнодействие: сила притяжения передавалась неизвестно как через совершенно пустое пространство, причём бесконечно быстро. По существу ньютоновская модель была чисто математической, без какого-либо физического содержания. Кроме того, если Вселенная, как тогда предполагали, евклидова и бесконечна, и при этом средняя плотность вещества в ней ненулевая, то возникает гравитационный парадокс: потенциал поля всюду обращается в бесконечность. В конце XIX века обнаружилась ещё одна проблема: заметное расхождение теоретического и наблюдаемого смещения перигелия Меркурия.

На протяжении более двухсот лет после Ньютона физики предлагали различные пути усовершенствования ньютоновской теории тяготения. Эти усилия увенчались успехом в 1915 году, с созданием общей теории относительности Эйнштейна, в которой все указанные трудности были преодолены. Теория Ньютона оказалась приближением более общей теории, применимым при выполнении двух условий:

1. 
   Гравитационный потенциал в исследуемой системе не слишком велик (много меньше c2{displaystyle c^{2}}). В Солнечной системе это условие для большинства движений небесных тел можно считать выполненным — даже на поверхности Солнца отношение |φ|/c2{displaystyle |varphi |/c^{2}} составляет всего 2,12⋅10−6{displaystyle 2{,}12cdot 10^{-6}}. Заметным релятивистским эффектом является только указанное выше смещение перигелия^[4].


2. Скорости движения в этой системе незначительны по сравнению со скоростью света.

Гравитационное поле в общей теории относительности |

В общей теории относительности (ОТО) гравитационное поле является не отдельным физическим понятием, а свойством пространства-времени, появляющимся в присутствии материи. Этим свойством является неевклидовость метрики (геометрии) пространства-времени, и материальным носителем тяготения является пространство-время. Тот факт, что гравитацию можно рассматривать как проявление свойств геометрии четырёхмерного неевклидова пространства, без привлечения дополнительных понятий, есть следствие того, что все тела в поле тяготения получают одинаковое ускорение («принцип эквивалентности» Эйнштейна). Пространство-время при таком подходе приобретает физические атрибуты, которые влияют на физические объекты и сами зависят от них.

Пространство-время ОТО представляет собой псевдориманово многообразие с переменной метрикой. Причиной искривления пространства-времени является присутствие материи, и чем больше её энергия, тем искривление сильнее. Для определения метрики пространства-времени при известном распределении материи надо решить уравнения Эйнштейна. Ньютоновская же теория тяготения представляет собой приближение ОТО, которое получается, если учитывать только «искривление времени», то есть изменение временно́й компоненты метрики, g00{displaystyle g_{00}}^[5] (пространство в этом приближении евклидово). Распространение возмущений гравитации, то есть изменений метрики при движении тяготеющих масс, происходит с конечной скоростью, и дальнодействие в ОТО отсутствует.

Другие существенные отличия гравитационного поля ОТО от ньютоновского: возможность нетривиальной топологии пространства, особых точек, гравитационные волны.

См. также |

• Уравнение Кеплера


• Небесная механика


• Гравитационная задача N тел


• Гравитационная неустойчивость


• Задача Кеплера в общей теории относительности


• Гравитомагнитное поле

Примечания |

Литература |

• Дубошин Г. Н.  Небесная механика. Основные задачи и методы. — М.: Наука, 1968. — 800 с.


• Иваненко Д. Д., Сарданашвили Г. А.  Гравитация. — 3-е изд. — М.: УРСС, 2008. — 200 с.


• Мензел Д. (ред.). Основные формулы физики. Глава 29. Небесная механика. — М.: Изд. иностранной литературы, 1957. — 658 с.


• Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. — М.: Мир, 1977.


• Тюлина И. А. Об основах ньютоновой механики (к трёхсотлетию «Начал» Ньютона) // История и методология естественных наук. — М.: МГУ, 1989. — Вып. 36. — С. 184—196..