Gfrktyl

Волновое уравнение в физике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики.

Вид уравнения |

В многомерном случае однородное волновое уравнение записывается в виде

Δu=1v2∂2u∂t2{displaystyle Delta u={frac {1}{v^{2}}}{frac {partial ^{2}u}{partial t^{2}}}}

где Δ{displaystyle Delta } — оператор Лапласа, u=u(x,t){displaystyle u=u(x,t)} — неизвестная функция, t∈R{displaystyle tin mathbb {R} } — время, x∈Rn{displaystyle xin mathbb {R} ^{n}} — пространственная переменная, v{displaystyle v} — фазовая скорость.

В одномерном случае уравнение называется также уравнением колебания струны или уравнением продольных колебаний стержня и записывается в виде

∂2u∂x2=1v2∂2u∂t2{displaystyle {frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}}={frac {1}{v^{2}}}{frac {partial ^{2}u}{partial t^{2}}}}

Оператор Д’Аламбера |

Разность Δ−1v2∂2∂t2{displaystyle Delta -{frac {1}{v^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}} называется оператором Д’Аламбера и обозначается как ◻{displaystyle square } (разные источники используют разный знак).
Таким образом, с использованием оператора Д’Аламбера (даламбертиана) однородное волновое уравнение записывается как:

◻u=0{displaystyle square u=0}

Неоднородное уравнение |

Допустимо также рассматривать неоднородное волновое уравнение

∂2u∂t2=v2Δu+f{displaystyle {frac {partial ^{2}u}{partial t^{2}}}=v^{2}Delta u+f}

где f=f(x,t){displaystyle f=f(x,t)} — некая заданная функция внешнего воздействия (внешней силы).

Стационарным вариантом волнового уравнения является уравнение Лапласа (уравнение Пуассона в неоднородном случае).

Задача нахождения нормальных колебаний системы, описываемой волновым уравнением, приводит к задаче на собственные значения для уравнения Лапласа, то есть к нахождению решений уравнения Гельмгольца, получающегося подстановкой

u(x,t)=v(x)eiωt {displaystyle u(x,t)=v(x)e^{iomega t} } или u(x,t)=v(x)cos(ωt) {displaystyle u(x,t)=v(x),mathop {rm {cos}} ,(omega t) }.

Решение волнового уравнения |

Существует аналитическое решение гиперболического уравнения в частных производных. В евклидовом пространстве произвольной размерности оно называется формулой Кирхгофа. Частные случаи: для колебания струны (R1{displaystyle mathbb {R} ^{1}}) — формула Д’Аламбера, для колебания мембраны (R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}}) — формула Пуассона.

Формула Д'Аламбера |

Решение одномерного волнового уравнения (здесь v=a{displaystyle v=a} — фазовая скорость)

utt=a2uxx+f(x,t){displaystyle u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f(x,t)quad } (функция f(x,t){displaystyle f(x,t)} соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

u(x,0)=φ(x),ut(x,0)=ψ(x){displaystyle u(x,0)=varphi (x),quad u_{t}(x,0)=psi (x)}

имеет вид

u(x,t)=φ(x+at)+φ(x−at)2+12a∫x−atx+atψ(α)dα+12a∫0t∫x−a(t−τ)x+a(t−τ)f(s,τ)dsdτ{displaystyle u(x,t)={frac {varphi (x+at)+varphi (x-at)}{2}}+{frac {1}{2a}}int limits _{x-at}^{x+at}{psi (alpha )dalpha }+{frac {1}{2a}}int limits _{0}^{t}int limits _{x-a(t-tau )}^{x+a(t-tau )}f(s,tau )dsdtau }

Интересно заметить, что решение однородной задачи

utt=a2uxx{displaystyle u_{tt}=a^{2}u_{xx}},

имеющее следующий вид

u(x,t)=φ(x+at)+φ(x−at)2+12a∫x−atx+atψ(α)dα{displaystyle u(x,t)={frac {varphi (x+at)+varphi (x-at)}{2}}+{frac {1}{2a}}int limits _{x-at}^{x+at}{psi (alpha )dalpha }}

может быть представлено в виде

u(x,t)=f1(x+at)+f2(x−at){displaystyle u(x,t)=f_{1}(x+at)+f_{2}(x-at)}

где

f1(x)=φ(x)2+12a∫0xψ(α)dα{displaystyle f_{1}(x)={frac {varphi (x)}{2}}+{frac {1}{2a}}int limits _{0}^{x}{psi (alpha )dalpha }}

f2(x)=φ(x)2+12a∫x0ψ(α)dα{displaystyle f_{2}(x)={frac {varphi (x)}{2}}+{frac {1}{2a}}int limits _{x}^{0}{psi (alpha )dalpha }}

В таком случае говорят, что решение представлено в виде суммы бегущих волн, а функции f1(x){displaystyle f_{1}(x)} и f2(x){displaystyle f_{2}(x)} — это профили волн, бегущих, соответственно, влево и вправо. В рассматриваемом случае профили волн со временем не изменяются.

В многомерном случае также решение задачи Коши может быть разложено в бегущие волны, однако уже не в сумму, а в интеграл, поскольку направлений становится бесконечно много. Это делается элементарно при помощи преобразования Фурье

Задача на полупрямой |

Рассмотрим однородное уравнение колебаний на полупрямой [0;+∞){displaystyle [0;+infty )}

utt=a2uxx{displaystyle u_{tt}=a^{2}u_{xx}}

с закрепленным концом:

u(0,t)=0{displaystyle u(0,t)=0}

и начальными условиями

u(x,0)=φ(x),ut(x,0)=ψ(x){displaystyle u(x,0)=varphi (x),qquad u_{t}(x,0)=psi (x)}

для того, чтобы задача имела решение, необходима согласованность начальных условий и граничного условия, а именно:

φ(0)=0,ψ(0)=0{displaystyle varphi (0)=0,qquad psi (0)=0}

Задача на полупрямой легко сводится к задаче на прямой после того, как мы антисимметрично продолжим начальные условия:

φ(−x)=−φ(x),ψ(−x)=−ψ(x)∀x∈[0,+∞){displaystyle varphi (-x)=-varphi (x),qquad psi (-x)=-psi (x)qquad forall xin [0,+infty )}

В силу того, что начальные условия φ(x),ψ(x){displaystyle varphi (x),psi (x)} — нечётные функции, логично ожидать, что и решение u(x,t){displaystyle u(x,t)} будет нечётной функцией. В этом можно непосредственно убедиться, рассмотрев решение в виде формулы Д’Аламбера. Поэтому полученное решение u(x, t) будет удовлетворять начальным условиям и граничному условию u(0,t)=0{displaystyle u(0,t)=0} (последнее следует из нечётности функции).

Показанный приём широко используется (не только для волнового уравнения) и называется метод отражения. Например, можно рассмотреть волновое уравнение на полупрямой, но с граничным условием второго рода на конце x=0{displaystyle x=0}:

ux(0,t)=0{displaystyle u_{x}(0,t)=0}.

Физически условие означает, что левый конец стержня (если рассматривать систему как продольные колебания стержня) свободен, то есть на него не действует никакая сила.

Методы решения в ограниченной одномерной области |

Метод отражений |

Рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке [0,a]{displaystyle [0,a]}

utt=a2uxx{displaystyle u_{tt}=a^{2}u_{xx}}

с однородными граничными условиями первого рода (то есть при закрепленных концах)

u(0,t)=0u(a,t)=0{displaystyle u(0,t)=0qquad u(a,t)=0}

и начальными условиями

u(x,0)=φ(x),ut(x,0)=ψ(x)∀x∈[0,a]{displaystyle u(x,0)=varphi (x),quad u_{t}(x,0)=psi (x)qquad forall xin [0,a]}

При помощи метода отражения задача может быть снова сведена к задаче на прямой. В данном случае потребуется бесконечное число отражений, в итоге продолженные начальные условия будут определяться таким образом:

φ(2na+x)=φ(x)ψ(2na+x)=ψ(x)∀x∈[0,a]∀n∈Z{displaystyle varphi (2na+x)=varphi (x)qquad psi (2na+x)=psi (x)qquad forall xin [0,a]quad forall nin Z}

φ(2na−x)=−φ(x)ψ(2na−x)=−ψ(x)∀x∈[0,a]∀n∈Z{displaystyle varphi (2na-x)=-varphi (x)qquad psi (2na-x)=-psi (x)qquad forall xin [0,a]quad forall nin Z}

При рассмотрении неоднородного волнового уравнения:

utt=a2uxx+f(x,t){displaystyle u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f(x,t)}

используются ровно те же соображения, и функция f(x,t){displaystyle f(x,t)} продолжается таким же образом.

Метод Фурье |

Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке [0,l]{displaystyle [0,l]}

utt=a2uxx{displaystyle u_{tt}=a^{2}u_{xx}}

с однородными граничными условиями первого рода

u(0,t)=0u(l,t)=0{displaystyle u(0,t)=0qquad u(l,t)=0}

и начальными условиями

u(x,0)=φ(x),ut(x,0)=ψ(x)∀x∈[0,l]{displaystyle u(x,0)=varphi (x),quad u_{t}(x,0)=psi (x)qquad forall xin [0,l]}

Метод Фурье основывается на представлении решения в виде (бесконечной) линейной комбинации простых решений задачи вида

X(x)T(t){displaystyle X(x)T(t)}, где обе функции зависят только от одной переменной.

Отсюда другое название метода — метод разделения переменных.

Нетрудно показать, что для того, чтобы функция u(x,t)=X(x)T(t){displaystyle u(x,t)=X(x)T(t)} была решением уравнения колебаний и удовлетворяла граничным условиям, необходимо,
чтобы выполнялись условия

X(0)=0X(l)=0{displaystyle X(0)=0qquad X(l)=0}

a2X″(x)=−λX(x){displaystyle a^{2}X''(x)=-lambda X(x)}

T″(t)=−λT(t){displaystyle T''(t)=-lambda T(t)}

Решение задачи Штурма-Лиувилля на X(x){displaystyle X(x)} приводит к ответу:

Xn(x)=sin⁡(πnxl)n∈N{displaystyle X_{n}(x)=sin left({frac {pi nx}{l}}right)qquad nin mathbf {N} }

и их собственным значениям λn=(πnal)2{displaystyle lambda _{n}=left({frac {pi na}{l}}right)^{2}}

Соответствующие им функции T{displaystyle T} выглядят как

Tn(t)=αnsin⁡(λnt)+βcos⁡(λnt).{displaystyle T_{n}(t)=alpha _{n}sin({sqrt {lambda }}_{n}t)+beta cos({sqrt {lambda }}_{n}t).}

Таким образом, их линейная комбинация (при условии, что ряд сходится) является решением смешанной задачи

u(x,t)=∑n=1+∞Xn(x)Tn(t)=∑n=1+∞(αnsin⁡(λnt)+βncos⁡(λnt))sin⁡πnxl.{displaystyle u(x,t)=sum _{n=1}^{+infty }X_{n}(x)T_{n}(t)=sum _{n=1}^{+infty }left(alpha _{n}sin({sqrt {lambda }}_{n}t)+beta _{n}cos({sqrt {lambda }}_{n}t)right)sin {frac {pi nx}{l}}.}

Разложив функции φ(x),ψ(x){displaystyle varphi (x),psi (x)} в ряд Фурье, можно получить коэффициенты αn,βn{displaystyle alpha _{n},beta _{n}}, при которых решение будет обладать такими начальными условиями.

Метод учёта волн |

Импульс, отражающийся от закрепленных граничных концов, упругие колебания моделируются волновым уравнением

Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке [0,a]{displaystyle [0,a]}

utt=uxx,{displaystyle u_{tt}=u_{xx},}

однако на сей раз положим однородные начальные условия

u(x,0)≡0,ut(x,0)≡0∀x∈[0,a]{displaystyle u(x,0)equiv 0,quad u_{t}(x,0)equiv 0qquad forall xin [0,a]}

и неоднородные граничные. Например, будем считать, что задана зависимость положения концов стержня от времени
(граничное условие первого рода)

u(0,t)=μ(t)u(a,t)=ν(t){displaystyle u(0,t)=mu (t)qquad u(a,t)=nu (t)}

Решение записывается в виде

u(x,t)=∑k=0+∞[μ(t−x−2ka)−μ(t+x−(2k+2)a)]+∑k=0+∞[ν(t+x−(2k+1)a)−ν(t−x−(2k+1)a)]{displaystyle u(x,t)=sum _{k=0}^{+infty }{biggl [}mu (t-x-2ka)-mu (t+x-(2k+2)a){biggr ]}+sum _{k=0}^{+infty }{biggl [}nu (t+x-(2k+1)a)-nu (t-x-(2k+1)a){biggr ]}}

В том, что оно удовлетворяет уравнению и начально-краевым условиям, можно убедиться непосредственно. Интересна интерпретация: каждое слагаемое в решении соответствует некоторому отражению одной из граничных волн. Например, левое граничное условие порождает волну вида

μ(t−x),{displaystyle mu (t-x),}

которая, добегая за время а до правого конца, отражается и даёт вклад

μ(t+x−2a),{displaystyle mu (t+x-2a),}

через время а снова отражается и дает вклад

μ(t−x−2a),{displaystyle mu (t-x-2a),}

Этот процесс продолжается бесконечно долго, суммируя вклады всех волн и получаем указанное решение. Если нас интересует решение на промежутке [0,T]{displaystyle [0,T]}, то мы можем ограничиться лишь первыми ⌈T/a⌉{displaystyle lceil T/arceil } слагаемыми.

См. также |

	Волновое уравнение на Викискладе

• Спор о струне


• Уравнение Гельмгольца


• Уравнение Лапласа


• Уравнение Клейна — Гордона — Фока


• Волновое уравнение в случайно неоднородной среде


• Формула Кирхгофа


• Специальная теория относительности

Ссылки |

• Волновое уравнение // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.


• Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики: Учебное пособие.. — 6-е изд., испр. и доп.. — М.: Изд-во МГУ, 1999. — 798 с. — ISBN 5-211-04138-0.

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.