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Grafico dei primi 60 valori della funzione.

La funzione enumerativa dei primi o funzione pi greco sui positivi associa ad ogni numero positivo n{displaystyle n} il numero dei numeri primi non superiori ad n{displaystyle n}, valore che si denota usualmente con π(n){displaystyle pi (n)}.

Come successione di interi essa viene presentata nella OEIS in corrispondenza della sigla A000720.

Primi valori |

I primi valori assunti dalla funzione in corrispondenza degli interi n=1,2,…,100{displaystyle n=1,2,ldots ,100} sono i seguenti:

π(n){displaystyle pi (n)}	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9	+10	+11	+12	+13	+14	+15	+16	+17	+18	+19	+20
0+	0	1	2	2	3	3	4	4	4	4	5	5	6	6	6	6	7	7	8	8
20+	8	8	9	9	9	9	9	9	10	10	11	11	11	11	11	11	12	12	12	12
40+	13	13	14	14	14	14	15	15	15	15	15	15	16	16	16	16	16	16	17	17
60+	18	18	18	18	18	18	19	19	19	19	20	20	21	21	21	21	21	21	22	22
80+	22	22	23	23	23	23	23	23	24	24	24	24	24	24	24	24	25	25	25	25

Stime asintotiche |

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema dei numeri primi.

Lo studio dell'asintotica di π(x){displaystyle pi (x)} costituisce uno degli argomenti principali della teoria dei numeri analitica.
Nel 1896, Hadamard e de la Vallée Poussin dimostrarono che

π(x)∼Li(x),{displaystyle pi (x)sim {rm {Li}}(x),}

dove Li(x)=∫2x1ln⁡tdt{displaystyle {rm {Li}}(x)=int _{2}^{x}{frac {1}{ln {t}}},dt} è il logaritmo integrale, confermando quanto ipotizzato da Legendre e Gauss. L'ipotesi di Riemann predice che valga una versione più precisa di tale risultato:

π(x)=Li(x)+O(xln⁡(x)).{displaystyle pi (x)={rm {Li}}(x)+Oleft({sqrt {x}}ln(x)right).}

Voci correlate |

• Teorema dei numeri primi


• Teoria analitica dei numeri


• Funzione zeta di Riemann

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