Gfrktyl

In matematica con il termine sviluppo asintotico, o con gli equivalenti serie asintotica e sviluppo di Poincaré si intende una serie formale di funzioni, non necessariamente convergente, tale che, troncata ad un numero finito di termini, fornisce un'approssimazione di una data funzione per un valore particolare.

Definizione matematica |

Sia {ϕn}{displaystyle {phi _{n}}} una successione di funzioni continue in un dato dominio tali che valga, per ogni n (secondo la notazione di Landau):

ϕn+1(x)=o(ϕn(x))  per x→x0{displaystyle phi _{n+1}(x)=o(phi _{n}(x)) {mbox{ per }}xrightarrow x_{0}} dove x0{displaystyle x_{0}!} è un punto del dominio.

Data f(x){displaystyle f(x)!} una funzione continua in x0{displaystyle x_{0}!}, è possibile determinare dei coefficienti an{displaystyle a_{n}} tali che valga per ogni N:

f(x)=∑n=0Nanϕn(x)+O(ϕN+1(x))  per x→x0{displaystyle f(x)=sum _{n=0}^{N}a_{n}phi _{n}(x)+O(phi _{N+1}(x)) {mbox{ per }}xrightarrow x_{0}}

La serie ottenuta ∑n=0∞anϕn(x){displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}phi _{n}(x)} si definisce sviluppo asintotico di f(x){displaystyle f(x)} in x0{displaystyle x_{0}!} rispetto alle funzioni {ϕn}{displaystyle {phi _{n}}}.

Analogamente si può scrivere:

f(x)∼∑n=0∞anϕn(x) per (x→x0){displaystyle f(x)sim sum _{n=0}^{infty }a_{n}phi _{n}(x) {mbox{per }}(xrightarrow x_{0})}

Bisogna notare che i coefficienti della serie tali da soddisfare le suddette condizioni sono univocamente determinati dalla relazione:

aN+1=f(x)−∑n=0Nanϕn(x)ϕN+1 per (x→x0){displaystyle a_{N+1}={frac {f(x)-sum _{n=0}^{N}a_{n}phi _{n}(x)}{phi _{N+1}}} {mbox{per }}(xrightarrow x_{0})}

In questo modo le serie asintotiche risultano essere una generalizzazione delle Serie di Taylor.
Tra i metodi per costruire tali sviluppi vi sono la formula di Euler-Maclaurin e trasformate integrali quali la trasformata di Laplace e la trasformata di Mellin. Spesso si riesce ad individuare uno sviluppo asintotico effettuando ripetute integrazioni per parti.

Un esempio esplicativo |

Si consideri la seguente funzione integrale:

f(x)=∫0∞e−tx+tdt{displaystyle f(x)=int _{0}^{infty }{frac {e^{-t}}{x+t}}dt}

Cerchiamo il suo sviluppo asintotico per x>>1{displaystyle x>>1}. In questo caso la soluzione si trova direttamente sfruttando l'identità della Serie geometrica:

1x+t=1x(11+t/x)=∑n=0N(−1)nxn+1tn−1xN+1tN+1x+t{displaystyle {frac {1}{x+t}}={frac {1}{x}}left({frac {1}{1+t/x}}right)=sum _{n=0}^{N}{frac {(-1)^{n}}{x^{n+1}}}t^{n}-{frac {1}{x^{N+1}}}{frac {t^{N+1}}{x+t}}}

sostituendo questa espressione si ottiene immediatamente che:

f(x)=∑n=0N(−1)nxn+1Γ(n+1)+RN(x){displaystyle f(x)=sum _{n=0}^{N}{frac {(-1)^{n}}{x^{n+1}}}Gamma (n+1)+R_{N}(x)}

dove
RN(x)=−1xN+1∫0∞tN+1e−tx+tdt{displaystyle R_{N}(x)=-{frac {1}{x^{N+1}}}int _{0}^{infty }{frac {t^{N+1}e^{-t}}{x+t}}dt}

Questa espressione soddisfa tutte le suddette proprietà, quindi è possibile concludere che:

f(x)∼∑n=0+∞(−1)nn!xn+1{displaystyle f(x)sim sum _{n=0}^{+infty }{frac {(-1)^{n}n!}{x^{n+1}}}}

Lo stesso sviluppo si ottiene anche applicando più volte l'integrazione per parti o con il metodo asintotico di Laplace.

Sviluppi asintotici notevoli |

• Funzione Gamma

exp⁡(x)xx2πxΓ(x)∼1+112x+1288x2−13951840x3−⋯ (x→∞){displaystyle {frac {exp(x)}{x^{x}{sqrt {2pi x}}}}Gamma (x)sim 1+{frac {1}{12x}}+{frac {1}{288x^{2}}}-{frac {139}{51840x^{3}}}-cdots (xrightarrow infty )}

• Integrale esponenziale

xexp⁡(x)E1(x)∼∑n=0∞(−1)nn!xn (x→∞){displaystyle xexp(x)E_{1}(x)sim sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}} (xrightarrow infty )}

• Funzione zeta di Riemann

ζ(s)∼∑n=1N−1n−s+N1−ss−1+N−s∑m=1∞B2ms2m−1¯(2m)!N2m−1{displaystyle zeta (s)sim sum _{n=1}^{N-1}n^{-s}+{frac {N^{1-s}}{s-1}}+N^{-s}sum _{m=1}^{infty }{frac {B_{2m}s^{overline {2m-1}}}{(2m)!N^{2m-1}}}}

dove i Bk{displaystyle B_{k}} sono i numeri di Bernoulli ed s2m−1¯{displaystyle s^{overline {2m-1}}} denota un fattoriale crescente. Questo sviluppo è valido per tutti gli s complessi e si usa spesso per calcolare la funzione zeta utilizzando un valore abbastanza elevato di N, ad esempio N>|s|{displaystyle N>|s|}.

• Funzione degli errori

πxex2erfc(x)=1+∑n=1∞(−1)n(2n)!n!(2x)2n.{displaystyle {sqrt {pi }}xe^{x^{2}}{rm {erfc}}(x)=1+sum _{n=1}^{infty }(-1)^{n}{frac {(2n)!}{n!(2x)^{2n}}}.}

Convergenza |

La convergenza della serie asintotica ∑n=0∞anϕn(x){displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}phi _{n}(x)} può essere studiata agevolmente ricorrendo al criterio della radice o al criterio del rapporto.

Convergenza puntuale |

Se si è interessati alla convergenza puntuale, per ogni x fissato la serie asintotica diventa una serie numerica, la quale converge (condizione sufficiente) se converge assolutamente, cioè se converge la serie ∑n=0∞|an||ϕn(x)|{displaystyle sum _{n=0}^{infty }|a_{n}||phi _{n}(x)|}. A questa serie si può applicare il criterio della radice o quello del rapporto se:

limn→∞|an||ϕn(x)|n<1{displaystyle lim _{nto infty }{sqrt[{n}]{|a_{n}||phi _{n}(x)|}}<1}      oppure      limn→∞ |an+1||ϕn+1(x)||an||ϕn(x)|<1{displaystyle lim _{nto infty } {frac {|a_{n+1}||phi _{n+1}(x)|}{|a_{n}||phi _{n}(x)|}}<1}

Nel caso in cui esista il limite:

limn→∞|an|n=L{displaystyle lim _{nto infty }{sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=L}      oppure      limn→∞ |an+1||an|=L{displaystyle lim _{nto infty } {frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}=L}

allora le condizioni sufficienti per la convergenza assoluta della serie asintotica diventano:

limn→∞|ϕn(x)|n<l(x)<1/L{displaystyle lim _{nto infty }{sqrt[{n}]{|phi _{n}(x)|}}<l(x)<1/L}      oppure      limn→∞ |ϕn+1(x)||ϕn(x)|=l(x)<1/L{displaystyle lim _{nto infty } {frac {|phi _{n+1}(x)|}{|phi _{n}(x)|}}=l(x)<1/L}

Quindi condizione sufficiente affinché la serie asintotica converga in A è quella di prendere:

A⊆{x:l(x)<1/L}{displaystyle Asubseteq {x:l(x)<1/L}}

Convergenza uniforme |

Volendo stabilire se la serie asintotica converge uniformemente in A′⊆A{displaystyle A'subseteq A}, si può considerare che condizione sufficiente è che essa converga totalmente, ovvero che converga la serie ∑n=0∞|an|supA′|ϕn(x)|{displaystyle sum _{n=0}^{infty }|a_{n}|sup _{A'}|phi _{n}(x)|}.

Posto:

cn(A′):=supA′|ϕn(x)|{displaystyle c_{n}(A'):=sup _{A'}|phi _{n}(x)|}

applicando il criterio della radice o quello del rapporto la condizione sufficiente per la convergenza di questa serie è:

limn→∞cn(A′)n<1/L{displaystyle lim _{nto infty }{sqrt[{n}]{c_{n}(A')}}<1/L}      oppure      limn→∞ cn+1(A′)cn(A′)<1/L{displaystyle lim _{nto infty } {frac {c_{n+1}(A')}{c_{n}(A')}}<1/L}

Serie di potenze |

Il caso più notevole e importante è quello delle serie di potenze:

ϕn(x)=(x−x0)n{displaystyle phi _{n}(x)=(x-x_{0})^{n};}

in cui si ha:

limn→∞|ϕn(x)|n=limn→∞ |ϕn+1(x)||ϕn(x)|=|x−x0|<1/L⇔x∈(x0−1/L,x0+1/L){displaystyle lim _{nto infty }{sqrt[{n}]{|phi _{n}(x)|}}=lim _{nto infty } {frac {|phi _{n+1}(x)|}{|phi _{n}(x)|}}=|x-x_{0}|<1/Lqquad Leftrightarrow qquad xin (x_{0}-1/L,x_{0}+1/L)}

per cui possiamo prendere:

A=(x0−1/L,x0+1/L){displaystyle A=(x_{0}-1/L,x_{0}+1/L);}

Inoltre, se si considera un intervallo del tipo:

A′=[x0−R,x0+R]{displaystyle A'=[x_{0}-R,x_{0}+R];}

si ha:

cn(A′):=supA′|(x−x0)n|=Rn{displaystyle c_{n}(A'):=sup _{A'}|(x-x_{0})^{n}|=R^{n}}

da cui:

limn→∞cn(A′)n=limn→∞ cn+1(A′)cn(A′)=R<1/L{displaystyle lim _{nto infty }{sqrt[{n}]{c_{n}(A')}}=lim _{nto infty } {frac {c_{n+1}(A')}{c_{n}(A')}}=R<1/L}

per cui la serie converge uniformemente in ogni intervallo chiuso contenuto nell'intervallo aperto su cui converge puntualmente.

Metodi per calcolare gli sviluppi asintotici |

• Principio di fase stazionaria

I(k)=∫abg(x)eikf(x)dx{displaystyle I(k)=int _{a}^{b}g(x)e^{ikf(x)},dx}

è uguale a:

• Se f(x){displaystyle f(x)} è stazionario in un unico punto a<x0<b{displaystyle a<x_{0}<b}
  

I(k)≅g(x0)2πk|f″(x0)|ei[kf(x0)±π4f″(x0)]{displaystyle I(k)cong g(x_{0}){sqrt {frac {2pi }{kleft|{f''(x_{0})}right|}}}e^{ileft[kf(x_{0})pm {frac {pi }{4}}f''(x_{0})right]}}

• Se f(x){displaystyle f(x)} possiede un solo punto stazionario corrispondente al limite inferiore dell'integrale x0=a{displaystyle x_{0}=a}
  

I(k)≅g(b)ikf′(b)eikf(b)+122πk|f″(x0)|g(x0)eikf(x0)ei±π4{displaystyle I(k)cong {frac {g(b)}{ikf'(b)}}e^{ikf(b)}+{frac {1}{2}}{sqrt {frac {2pi }{k|f''(x_{0})|}}}g(x_{0})e^{ikf(x_{0})}e^{ipm {frac {pi }{4}}}}

• Se f(x){displaystyle f(x)} possiede un solo punto stazionario corrispondente al limite superiore dell'integrale x0=b{displaystyle x_{0}=b}
  

I(k)≅−g(a)ikf′(a)eikf(a)+122πk|f″(x0)|g(x0)eikf(x0)ei±π4{displaystyle I(k)cong -{frac {g(a)}{ikf'(a)}}e^{ikf(a)}+{frac {1}{2}}{sqrt {frac {2pi }{k|f''(x_{0})|}}}g(x_{0})e^{ikf(x_{0})}e^{ipm {frac {pi }{4}}}}

• Metodo di Laplace ^[1]
  

∫abexp⁡(λf(x))g(x)dx∼−2πf″(x0)λg(x0)exp⁡(λf(x0)){displaystyle int _{a}^{b}exp(lambda f(x))g(x)dxthicksim {sqrt {frac {-2pi }{f''(x_{0})lambda }}}g(x_{0})exp(lambda f(x_{0}))}

Con f(t) e g(t) due funzioni definite in [a,b], finito o semi-infinito tali che:

• 
  f(x)<f(x0){displaystyle f(x)<f(x_{0})} in ogni intervallo che non contiene x0{displaystyle x_{0}}
  


• 
  f(x){displaystyle f(x)} è continuamente differenziabile due volte in un intorno di x0:f′(x0)=0,f″(x0)<0{displaystyle x_{0}:f'(x_{0})=0,f''(x_{0})<0}
  


• 
  g(x){displaystyle g(x)} è continua in un intorno di t0{displaystyle t_{0}}
  


• L'integrale è assolutamente convergente per Re(λ)>σ>0{displaystyle Re(lambda )>sigma >0}
  

Bibliografia |

• 
  Arthur Erdélyi (1956): Asymptotic Expansions, Dover

• N. Bleistein, R. A. Handelsman (1986): Asymptotic expansions of integrals, Dover

• F. W. J. Olver (1974): Introduction to Asymptotics and Special Functions, Academic Press

• 
  Godfrey Harold Hardy (1949): Divergent Series, Oxford University Press

• R. B. Paris, D. Kaminsky (2001): Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press

• E. T. Copson (2004): Asymptotic Expansions, Cambridge University Press

• E. Whittaker, G. N. Watson (1963): A Course in Modern Analysis, IV ed., Cambridge University Press (I ed., p. 150, 1915)

• M. Abramowitz e I. Stegun (1964): Handbook of mathematical functions, Governement Printing Office

Note

1. 
   ^ Carlo Bernardi Orlando Ragnisco Paolo Maria Santini, Metodi Matematici per la Fisica, p. 204.
   

|

• Carlo Bernarnidi Orlando Ragnisco Paolo Maria Santini, Metodi Matematici della Fisica, Carocci, 2014 [1993], ISBN 978-88-430-1517-7.

Collegamenti esterni |

• 
  


• 
  Sviluppo asintotico, su thes.bncf.firenze.sbn.it, Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze.
  


• F. W. J. Olver e R. Wong Asymptotic Approximations nelle Digital Library of Mathematical Functions
  


• 
  Asymptotic series in MathWorld
  

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