Gfrktyl

Ковариа́нтность и контравариа́нтность — используемые в математике (линейной алгебре, дифференциальной геометрии, тензорном анализе) и в физике понятия, характеризующие то, как тензоры (скаляры, векторы, операторы, билинейные формы и т. д.) изменяются при преобразованиях базисов в соответствующих пространствах или многообразиях. Контравариантными называют «обычные» компоненты, которые при смене базиса пространства изменяются с помощью преобразования, обратного преобразованию базиса. Ковариантными — те, которые изменяются так же, как и базис.

Связь между ковариантными и контравариантными координатами тензора возможна только в пространствах, где задан метрический тензор (не следует путать с метрическим пространством).

Термины ковариантность и контравариантность были введены Сильвестром в 1853 году для исследований по алгебраической теории инвариантов.

Ковариантность и контравариантность в векторных пространствах |

Контравариантные и ковариантные векторы |

     вектор v, описанный в терминах

касательного базиса

     e₁, e₂, e₃ в      координатных кривых (слева),

дуального базиса, ковекторного базиса или взаимного базиса

     e¹, e², e³ в      координатных поверхностях (справа),

в 3-d общих криволинейных координатах (q¹, q², q³), кортеж чисел для определения точки в координатном пространстве. Обратите внимание, что базис и кобазис совпадают только тогда, когда базис ортогональный.^[1]

Пусть V{displaystyle V} — некоторое конечномерное векторное пространство, и в нём задан некоторый базис ei,i=1..n{displaystyle e_{i},i=1..n}. Произвольный вектор x{displaystyle x} можно представить как линейную комбинацию векторов базиса: x=∑i=1nxiei{displaystyle x=sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}}. В целях упрощения записи (и по причинам, которые станут ясны ниже) обозначим координаты с верхним индексом и примем правило Эйнштейна — если в выражении участвуют одинаковые разноуровневые индексы, то по ним предполагается суммирование. Таким образом, можно записать: x=xiei{displaystyle x=x^{i}e_{i}}. Зададим новый базис с помощью матрицы преобразования S{displaystyle S}. По тем же соображениям введем нижние и верхние индексы (чтобы не писать знаки суммирования) — Sij{displaystyle S_{i}^{j}}. Тогда ei′=Sijej{displaystyle e'_{i}=S_{i}^{j}e_{j}} (предполагается суммирование по индексу j). Обозначив обратную матрицу T=S−1{displaystyle T=S^{-1}}, можно записать: ej=Tjiei′{displaystyle e_{j}=T_{j}^{i}e'_{i}}. Подставив эту формулу в координатное представление вектора x, получим: x=xjTjiei′{displaystyle x=x^{j}T_{j}^{i}e'_{i}}. Таким образом, координаты вектора в новом базисе оказываются равными x′i=Tjixj{displaystyle x'^{i}=T_{j}^{i}x^{j}}, то есть преобразуются «противоположно» (обратно) изменению базиса. По этой причине такие векторы называют контравариантными — изменяющимися противоположно базису. Контравариантные векторы — это обычные векторы. Контравариантные векторы в координатном представлении обычно записывают как «вектор-столбец». Для идентификации контравариантных векторов используется верхний, или контравариантный индекс.

Пространство всех линейных функционалов, отображающих векторы в числа, называют сопряжённым пространством V∗{displaystyle V^{*}}. Оно также является векторным пространством той же размерности, что и основное пространство. В этом пространстве также можно определить базис. Обозначим элементы базиса сопряженного пространства с верхним индексом gi{displaystyle g^{i}}. Любой функционал можно представить в этом базисе через координаты, которые будем обозначать нижними индексами. Тогда, применяя правило Эйнштейна, можем записать: f=figi{displaystyle f=f_{i}g^{i}}, то есть любой линейный функционал можно записать просто набором чисел fi{displaystyle f_{i}}, как обычный вектор (за исключением нижнего расположения индекса).

Выберем базис в сопряженном пространстве так, что gi(x)=xi{displaystyle g^{i}(x)=x^{i}}, то есть эти функционалы находят i{displaystyle i}-ю координату вектора (проекцию на базисный вектор ei{displaystyle e_{i}}). Такой базис называют дуальным (базису основного пространства). При смене базиса основного пространства необходимо сохранить это условие, то есть g′i(x)=x′i=Tjixj=Tjigj(x){displaystyle g'^{i}(x)=x'^{i}=T_{j}^{i}x^{j}=T_{j}^{i}g^{j}(x)}. Таким образом, дуальный базис изменяется обратно изменению основного базиса. Координаты произвольного линейного функционала fi{displaystyle f_{i}} будут меняться противоположно собственному базису (как и в любом пространстве), то есть с помощью матрицы T−1=S{displaystyle T^{-1}=S}. Следовательно, они будут меняться так, как основной базис. Это свойство называют ковариантностью. Сами линейные функционалы в координатном представлении в дуальном базисе называют ковариантными векторами, или кратко — ковекторами. Внешне ковектор «выглядит» как обычный вектор — в смысле обычного набора чисел, представляющих его координаты. Отличие ковектора от контрвариантного вектора заключается в правиле преобразования его координат при смене базиса: они преобразуются так, как базис, в отличие от контравариантных векторов, преобразующихся противоположно базису. Ковекторы в координатной форме записывают как «вектор-строку». Для идентификации ковекторов используется нижний, или ковариантный, индекс.

Контравариантность и ковариантность тензоров |

Сказанное про контравариантность и ковариантность векторов можно обобщить на объекты с несколькими индексами — тензоры, частными случаями которых и являются векторы и ковекторы.

По аналогии с линейным функционалом рассмотрим функционал, ставящий в соответствие нескольким (k{displaystyle k}) векторам пространства V{displaystyle V} некоторое число, обладающий свойством линейности по каждому вектору. Это так называемые полилинейные функции. Можно показать, что все k{displaystyle k}-линейные функции образуют линейное пространство, в котором можно также ввести базис и представить произвольную k{displaystyle k}-линейную функцию в координатном виде. Можно также показать, что их координаты преобразуются как базис основного пространства (так же как и ковариантные векторы). Поэтому такие полилинейные функции называют k{displaystyle k} раз ковариантными тензорами. Их записывают с нижними индексами. Например, дважды ковариантный тензор обозначается так Aij{displaystyle A_{ij}}.

Аналогично можно рассматривать полилинейные функции не в основном пространстве, а в сопряженном пространстве V∗{displaystyle V^{*}}, совокупность которых также образует линейное пространство V∗∗{displaystyle V^{**}}, которое является сопряженным к V∗{displaystyle V^{*}}. В координатном представлении в дуальном базисе они преобразуются так же, как базис пространства V∗{displaystyle V^{*}}, а значит — противоположно базису основного пространства V{displaystyle V}. То есть они обладают свойством контравариантности и называются k{displaystyle k} раз контравариантным тензором. Их обозначают с верхними индексами. В частности, дважды контравариантный тензор запишется как Aij{displaystyle A^{ij}}.

Для рассматриваемых обычно пространств выполняется так называемый канонический изоморфизм V{displaystyle V} и V∗∗{displaystyle V^{**}}, то есть эти пространства можно считать неразличимыми. Поэтому 1-раз контравариантный тензор можно считать эквивалентным обычному контравариантному вектору.

Обобщая приведённые определения, можно рассматривать полилинейные функции от векторов и ковекторов одновременно. Соответственно, при смене базиса координатная запись такой функции будет преобразовываться с участием как матрицы преобразования основного базиса (в количестве ковекторов, участвующих в полилинейной функции), так и обратного ему (в количестве векторов полилинейной функции). Соответствующий тензор называют m раз контравариантным и k раз ковариантным — Tkm{displaystyle T_{k}^{m}}. Для ковариантных компонент используют нижние индексы, для контравариантных — верхние. Например, 1-раз контравариантный и 1 раз ковариантный тензор обозначается Aji{displaystyle A_{j}^{i}}. Общее количество индексов k+m{displaystyle k+m} называется рангом, или валентностью, тензора. Компонентами тензора являются значения полилинейной функции на базисных векторах. Например, Aji=A(ei,ej){displaystyle A_{j}^{i}=A(e^{i},e_{j})}.

Операция суммирования по одинаковым разноуровневым индексам тензоров называется свёрткой по этим индексам. Как уже было указано выше, по правилу Эйнштейна знак суммирования пропускают. В результате свёртки тензора по паре индексов его ранг уменьшается на 2. Например, отображение некоторого контравариантного вектора с помощью некоторого линейного оператора в тензорной записи будет иметь вид yi=Ajixj{displaystyle y^{i}=A_{j}^{i}x^{j}}. Линейные операторы являются классическим примером тензора типа T11{displaystyle T_{1}^{1}}.

При преобразовании тензора типа Tkm{displaystyle T_{k}^{m}} при смене базиса m раз используется прямая матрица преобразования базиса и k раз обратная. Например, тензор Aji{displaystyle A_{j}^{i}} типа T11{displaystyle T_{1}^{1}} при смене базиса преобразуется следующим образом:

Aj′i′=Tj′qSpi′Aqp{displaystyle A_{j'}^{i'}=T_{j'}^{q}S_{p}^{i'}A_{q}^{p}}

Вообще, необходимо понимать, что сам объект от представления его в базисе не зависит. Все преобразования — это представления одного и того же объекта (тензора).

Метрический тензор |

Если в линейном пространстве введено скалярное произведение g{displaystyle g} — билинейная форма (или в тензорной терминологии — дважды ковариантный тензор), обладающая свойствами симметричности и невырожденности, то такие пространства (конечномерные) называют евклидовыми (при условии положительной определённости соответствующей квадратичной формы g(x,x){displaystyle g(x,x)}) или псевдоевклидовым (без ограничения знака квадратичной формы). Соответствующий этой билинейной форме тензор называют метрическим тензором. Компоненты этого тензора в данном базисе gij=g(ei,ej){displaystyle g_{ij}=g(e_{i},e_{j})}. Если этот базис ортонормированный (такой базис всегда существует в (псевдо)евклидовом пространстве), то матрица компонент является диагональной. На диагонали в случае евклидового пространства — единицы (единичная матрица). В случае псевдоевклидового пространства на диагонали кроме единиц имеются также и «минус-единицы». В общем случае, однако, базисы могут быть не ортогональными, поэтому метрический тензор может быть представлен и недиагональной матрицей (тем не менее в «плоском» пространстве всегда существует преобразование базиса, которое приводит его к диагональному виду).

С помощью метрического тензора скалярное произведение запишется как g(x,y)=gijxiyj{displaystyle g(x,y)=g_{ij}x^{i}y^{j}}. В пространствах со скалярным произведением имеет место канонический изоморфизм пространства V{displaystyle V} и сопряжённого пространства V∗{displaystyle V^{*}}, то есть каждому вектору ставится в соответствие ковектор и наоборот. Это соответствие осуществляется как раз с помощью скалярного произведения или в тензорной записи — с помощью метрического тензора. А именно, можно записать xi=gijxj{displaystyle x_{i}=g_{ij}x^{j}}. Эта операция называется опусканием или спуском индекса. Обратное соответствие осуществляется с помощью контравариантного метрического тензора xj=gijxi{displaystyle x^{j}=g^{ij}x_{i}}. Эта операция называется поднятием или подъёмом индекса. Несложно показать, что матрицы ковариантного и контравариантного метрических тензоров взаимно-обратны, то есть gikgkj=δij{displaystyle g_{ik}g^{kj}=delta _{i}^{j}}. Скалярное произведение можно выразить как в контравариантных, так и в ковариантных векторах: g(x,y)=gijxiyj=xiyi=xiyi=gijxiyj{displaystyle g(x,y)=g_{ij}x^{i}y^{j}=x_{i}y^{i}=x^{i}y_{i}=g^{ij}x_{i}y_{j}}.

В случае ортонормированного базиса в евклидовом пространстве метрический тензор — единичная матрица, поэтому ковариантный вектор в координатной записи совпадает с контравариантным. Поэтому в этом случае деление векторов на контравариантные и ковариантные не является необходимым. Однако уже при неортогональности базиса и (или) псевдоевклидовости пространства такое разграничение имеет значение. В псевдоевклидовом пространстве в ортогональном базисе ковекторы различаются знаками некоторых координат от обычного вектора. Система векторов и ковекторов в таком случае позволяет записывать формулу для квадрата длины вектора аналогично случаю евклидового пространства xixi{displaystyle x_{i}x^{i}}. В случае неортогональных (косоугольных) базисов в евклидовых (псевдоевклидовых) пространствах метрический тензор, преобразующий контравариантные векторы в ковариантные, не является диагональным. При этом длина вектора записывается также как в евклидовом пространстве с помощью контравариантных и ковариантных векторов. Все эти случаи объединяет одно — метрический тензор (в данном базисе) имеет одинаковую матрицу для всех точек (векторов) пространства.

В пространствах с метрическим тензором «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» являются фактически разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — обычного вектора или ковектора. То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть набор ковариантных координат) и контравариантный (то есть набор контравариантных координат). То же можно сказать о ковекторе. Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с метрическим тензором. Содержательно же векторы и ковекторы различают лишь по тому, какое из представлений для них естественно. Естественным для обычного вектора является контравариантное представление. Для ковариантного вектора естественным является свертка с обычными векторами без участия метрики. Примером ковариантного вектора является градиент скалярной функции gradf(x)=∂f∂xi=∂if{displaystyle mathbf {grad} f(mathbf {x} )={frac {partial f}{partial x^{i}}}=partial _{i}f}. Его свёртка с контравариантным (обычным) вектором dxi{displaystyle dx^{i}} даёт инвариант — дифференциал функции df(x){displaystyle df(x)}. Таким образом, если мы принимаем dxi{displaystyle dx^{i}} в качестве обычных векторов пространства, то градиент должен быть ковектором, чтобы при свёртывании не нужно было использовать метрический тензор. При этом сами векторы dxi{displaystyle dx^{i}} требуют при свёртывании с такими же векторами использования метрического тензора  (dx)2=gijdxidxj{displaystyle (dx)^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}}.

Если речь идет об обычном физическом пространстве, простым признаком ковариантности-контравариантрности вектора является то, как свёртывается его естественное представление с набором координат пространственного перемещения  dxi{displaystyle dx^{i}}, являющегося образцом контравариантного вектора. Те, что свёртываются с  dxi{displaystyle dx^{i}} посредством простого суммирования, без участия метрики, — это ковариантные векторы, а те, что с участием метрики — это контравариантные векторы. Если же пространство и координаты настолько абстрактны, что нет способа различить главный и дуальный базис, кроме как произвольным условным выбором, то содержательное различие между ковариантными и контравариантными векторами пропадает, или становится также чисто условным.

Нередко ковариантным вектором, особенно в физической литературе, называют разложение любого вектора (то есть вектора или ковектора, вектора касательного или кокасательного пространства) по дуальному базису. Тогда речь идет о наборе ковариантных координат любого объекта, обычно, однако, каждый тип объектов стараются записывать в естественном для него базисе, что соответствует основному определению.

Обобщение на криволинейные базисы и искривлённые пространства |

Координаты евклидового (псеводоевклидового) могут быть и криволинейными. Классический пример криволинейных координат — полярные координаты на евклидовой плоскости. В таком случае координатные базисы dxi{displaystyle dx^{i}} можно считать линейными лишь в бесконечно малых окрестностях данной точки. Поэтому справедливым остаётся выражение для квадрата расстояния для достаточно близких точек: (dx)2=gijdxidxj{displaystyle (dx)^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}}. В случае криволинейных координат метрический тензор меняется от точки к точке. Таким образом, он представляет собой тензорное поле — каждой точке пространства оказывается сопоставлен некоторый метрический тензор.

Более общая ситуация имеет место в случае искривлённых пространств — римановых (псевдоримановых) многообразий. Искривлённое пространство можно наглядно представить для случая двумерной поверхности — некоторая гладкая кривая поверхность в трёхмерном пространстве (например, сферическая поверхность). Внутренняя геометрия такой поверхности (искривлённой) — это геометрия искривлённого пространства. В общем случае искривлённого пространства размерности n{displaystyle n} его можно представить себе как произвольную (искривлённую) гиперповерхность в пространстве большей размерности. Для гладких многообразий со счетной базой доказана теорема Уитни о вложении, согласно которой любое такое многообразие размерности n{displaystyle n} является вложенным в «плоское» (то есть неискривлённое евклидово или псевдоевклидово) пространство размерности 2n{displaystyle 2n}.

В искривлённом пространстве могут и не существовать ортогональные и вообще линейные координатные базисы. В общем случае приходится иметь дело именно с криволинейными базисами. В этом случае применение всего вышеуказанного формализма ковариантных и контравариантных векторов приобретает не просто особую важность, а становится неизбежным.

Общие определения |

В случае криволинейных координат или искривлённых пространств новые координаты являются, вообще говоря, нелинейными функциями старых координат: x′i=x′i(x1,x2,...,xn){displaystyle x'^{i}=x'^{i}(x^{1},x^{2},...,x^{n})}. Для бесконечно малых изменений старых координат dxj{displaystyle dx^{j}} можно определить изменения новых координат через якобиан указанных функций:

dx′i=∂x′i∂xjdxj{displaystyle dx'^{i}={frac {partial x'^{i}}{partial x^{j}}}dx^{j}}

Любой вектор v{displaystyle v}, преобразующийся так же, как и dxi{displaystyle dx^{i}}, то есть

v′i=∂x′i∂xjvj{displaystyle v'^{i}={frac {partial x'^{i}}{partial x^{j}}}v^{j}}

называется контравариантным вектором.

Для некоторой скалярной функции координат f(x){displaystyle f(x)} рассмотрим её градиент ∂f(x)∂xi{displaystyle {frac {partial f(x)}{partial x^{i}}}}. При переходе к другим координатам имеем:

∂f(x)∂x′i=∂f(x)∂xj∂xj∂x′i{displaystyle {frac {partial f(x)}{partial x'^{i}}}={frac {partial f(x)}{partial x^{j}}}{frac {partial x^{j}}{partial x'^{i}}}}

Любой вектор u{displaystyle u}, преобразующийся так же, как градиент, то есть

ui′=∂xj∂x′iuj{displaystyle u'_{i}={frac {partial x^{j}}{partial x'^{i}}}u_{j}}

называется ковариантным вектором.

Соответственно, m{displaystyle m} раз контравариантным и k{displaystyle k} раз ковариантным тензором (тензором типа Tkm{displaystyle T_{k}^{m}}) называется объект, преобразующийся при смене базиса применением m{displaystyle m} раз «обратного» преобразования ∂x′i∂xj{displaystyle {frac {partial x'^{i}}{partial x^{j}}}} и k{displaystyle k} раз «прямого» преобразования ∂xj∂x′i{displaystyle {frac {partial x^{j}}{partial x'^{i}}}}.

Например, дважды контравариантный тензор Aij{displaystyle A^{ij}} и дважды ковариантный тензор Aij{displaystyle A_{ij}} преобразуются по следующим законам:

A′ij=∂x′i∂xq∂x′j∂xpApq{displaystyle {A'}^{ij}={frac {partial x'^{i}}{partial x^{q}}}{frac {partial x'^{j}}{partial x^{p}}}A^{pq}}

A′ij=∂xq∂x′i∂xp∂x′jApq{displaystyle {A'}_{ij}={frac {partial x^{q}}{partial x'^{i}}}{frac {partial x^{p}}{partial x'^{j}}}A_{pq}}

А для 1 раз контравариантного и 1 раз ковариантного тензора преобразования имеют вид:

A′ij=∂xp∂x′i∂x′j∂xqApq{displaystyle {A'}_{i}^{j}={frac {partial x^{p}}{partial x'^{i}}}{frac {partial x'^{j}}{partial x^{q}}}A_{p}^{q}}

Обычно для указания, что компоненты тензора преобразованы к новому базису со штрихом, штрих указывают у соответствующих индексов тензора, а не у его буквенного обозначения, в таком случае вышеуказанные формулы записывают так

Ai′j′=∂xi′∂xq∂xj′∂xpApq,Ai′j′=∂xq∂xi′∂xp∂xj′Apq,Ai′j′=∂xp∂xi′∂xj′∂xqApq{displaystyle A^{i'j'}={frac {partial x^{i'}}{partial x^{q}}}{frac {partial x^{j'}}{partial x^{p}}}A^{pq},qquad A_{i'j'}={frac {partial x^{q}}{partial x^{i'}}}{frac {partial x^{p}}{partial x^{j'}}}A_{pq},qquad A_{i'}^{j'}={frac {partial x^{p}}{partial x^{i'}}}{frac {partial x^{j'}}{partial x^{q}}}A_{p}^{q}}

Алгебра и геометрия |

В теории категорий, функторы могут быть ковариантными и контравариантными. Сопряжённое пространство векторного пространства — стандартный пример контравариантного функтора. Некоторые конструкции мультилинейной алгебры являются смешанными, и не являются функторами.

В геометрии то же самое отображение различается в или из пространства, что позволяет определить вариантность конструкции. Касательный вектор к гладкому многообразию M в точке P — это класс эквивалентности кривых в M, проходящих через данную точку P. Поэтому он контравариантен относительно гладкого отображения M. Ковариантный вектор, или ковектор, таким же способом конструируется из гладкого отображения из M на вещественную ось около P в кокасательном расслоении, построенном на сопряжённом пространстве касательного расслоения.

Ковариантные и контравариантные компоненты преобразуются разными способами при преобразованиях базисов и, соответственно, координат, если брать, как это делают обычно, координатные базисы. .

См. также |

• Общековариантность


• Лоренц-ковариантность


• Бра и кет


• Ковариантная производная


• Метрический тензор


• Ковариантность и контравариантность (программирование)

Примечания |

Литература |

• 
  Sternberg, Shlomo (1983), Lectures on differential geometry, New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0316-0 .

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Викифицировать статью.

В этой статье или разделе имеется список источников или внешних ссылок, но источники отдельных утверждений остаются неясными из-за отсутствия сносок. Утверждения, не подкреплённые источниками, могут быть поставлены под сомнение и удалены. Вы можете улучшить статью, внеся более точные указания на источники.