Gfrktyl

i{displaystyle i} на комплексной плоскости. Вещественные числа лежат на горизонтальной оси, чисто мнимые — на вертикальной.

Мни́мая едини́ца — комплексное число, квадрат которого равен −1 (минус единице). Термин может употребляется также в обобщённом смысле не только для комплексных чисел.mw-parser-output .ts-Переход img{margin-left:.285714em}^[⇨].

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская i{displaystyle i} или j{displaystyle j}. Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа расширения.

Причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение f(x)=0{displaystyle f(x)=0} с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение x2+1=0{displaystyle x^{2}+1=0} не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — «Основная теорема алгебры».

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: нередко, при наличии трёх вещественных корней, для получения двух из них формула Кардано требовала брать кубический корень в комплексных числах.

Утверждение, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не совсем точно: ведь «−1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «−i». Какой именно корень принять за мнимую единицу — неважно: все равенства сохранят силу при одновременной замене всех «i» на «-i» и «-i» на «i». Однако из-за этой двусмысленности, чтобы избежать ошибочных выкладок, не следует применять обозначение для i{displaystyle i} через радикал (как −1{displaystyle {sqrt {-1}}}).

Определение |

Мнимая единица — это число, квадрат которого равен −1. Т.е. i{displaystyle i}  — это одно из решений уравнения

x2+1=0,{displaystyle x^{2}+1=0,}   или   x2=−1.{displaystyle x^{2}=-1.}

И тогда его вторым решением уравнения будет −i{displaystyle -i}, что проверяется подстановкой.

Степени мнимой единицы |

Степени i{displaystyle i} повторяются в цикле:

…{displaystyle ldots }

i−3=i{displaystyle i^{-3}=i}

i−2=−1{displaystyle i^{-2}=-1}

i−1=−i{displaystyle i^{-1}=-i}

i0=1{displaystyle i^{0}=1}

i1=i{displaystyle i^{1}=i}

i2=−1{displaystyle i^{2}=-1}

i3=−i{displaystyle i^{3}=-i}

i4=1{displaystyle i^{4}=1}

…{displaystyle ldots }

Что может быть записано для любой степени в виде:

i4n=1{displaystyle i^{4n}=1}

i4n+1=i{displaystyle i^{4n+1}=i}

i4n+2=−1{displaystyle i^{4n+2}=-1}

i4n+3=−i.{displaystyle i^{4n+3}=-i.}

где n — любое целое число.

Отсюда: in=inmod4{displaystyle i^{n}=i^{n{bmod {4}}}}
где mod 4 — это остаток от деления на 4.

Из тождества Эйлера следует, что число ii{displaystyle i^{i}} является вещественным:

ii=e(iπ/2)i=ei2π/2=e−π/2=0,20787957635…{displaystyle i^{i}={e^{(ipi /2)i}}=e^{i^{2}pi /2}=e^{-pi /2}=0{,}20787957635ldots }.

Точнее, в комплексном анализе возведение в степень: xy=exp⁡(y⋅Ln⁡x){displaystyle x^{y}=exp(ycdot operatorname {Ln} x)} является многозначной функцией, поэтому

ii=e−π(1+4n)2{displaystyle i^{i}=e^{-{frac {pi (1+4n)}{2}}}}, где n∈Z{displaystyle nin mathbb {Z} }.

Также верно, что (−i)(−i)=ii{displaystyle (-i)^{(-i)}=i^{i}}.

Факториал |

Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i:

i!=Γ(1+i)≈0.4980−0.1549i.{displaystyle i!=Gamma (1+i)approx 0.4980-0.1549i.}

Также

|i!|=πsinh⁡(π)≈0.521564....{displaystyle |i!|={sqrt {pi over sinh(pi )}}approx 0.521564....}^[1]

Корни из мнимой единицы |

Основная статья: Корень (математика)

Корни квадратные из мнимой единицы

Корни кубические из мнимой единицы (вершины треугольника)

В поле комплексных чисел корень n-й степени имеет n решений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.

uk=cos⁡π2+2πkn+i sin⁡π2+2πkn,k=0,1,...,n−1{displaystyle u_{k}=cos {frac {{frac {pi }{2}}+2pi k}{n}}+i sin {frac {{frac {pi }{2}}+2pi k}{n}},quad k=0,1,...,n-1}

В частности, i={1+i2; −1−i2}{displaystyle {sqrt {i}}=left{{frac {1+i}{sqrt {2}}}; {frac {-1-i}{sqrt {2}}}right}} и i3={−i; i+32; i−32}{displaystyle {sqrt[{3}]{i}}=left{-i; {frac {i+{sqrt {3}}}{2}}; {frac {i-{sqrt {3}}}{2}}right}}

Также корни из мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:

uk=e(π2+2πk)in,k=0,1,...,n−1{displaystyle u_{k}=e^{frac {({frac {pi }{2}}+2pi k)i}{n}},quad k=0,1,...,n-1}

Иные мнимые единицы |

В конструкции удвоения по Кэли — Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду «мнимых единиц расширения» может быть несколько. Но в этом случае могут возникать делители нуля и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i».
Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения «x2=−1{displaystyle x^{2}=-1}».

К вопросу об интерпретации и названии |

Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, −1 и √−1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с этими числами связана какая-то мрачная тайна. По словам Гаусса, геометрическое представление дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввел термин «комплексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта) и использовал для обозначения √−1 символ i. Морис Клайн, «Математика. Утрата определённости». Глава VII. Нелогичное развитие: серьёзные трудности на пороге XIX в.

Обозначения |

Обычное обозначение i{displaystyle i}, но в электро- и радиотехнике мнимую единицу принято обозначать j{displaystyle j}, чтобы не путать с обозначением мгновенной силы тока: i=i(t){displaystyle i=i(t)}.

В языке программирования Python мнимая единица записывается как 1j.

В языке программирования Wolfram Language мнимая единица записывается как I.

См.также |

• 
  Дуальные числа и Двойные числа
  


• Комплексный анализ


• Кватернион


• Гиперкомплексное число

Примечания |

Ссылки |

• Мнимая единица // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.