Gfrktyl

Сигнату́ра — числовая характеристика квадратичной формы или псевдоевклидова пространства, в котором скалярное произведение задано с помощью соответствующей квадратичной формы.

Определение |

Каждая квадратичная форма с действительными коэффициентами может быть приведена с помощью невырожденной линейной замены переменных к каноническому виду

x12+x22+⋯+xp2−xp+12−xp+22−⋯−xp+q2.{displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-x_{p+2}^{2}-cdots -x_{p+q}^{2}.}

Разность p−q{displaystyle p-q} между числом положительных и отрицательных членов в этой записи называется сигнатурой квадратичной формы. Числа p и q сигнатуры не зависят от способов приведения формы к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).

Сигнатуру квадратичной формы также записывают в виде пары чисел (p,q){displaystyle (p,q)} или в виде (+⋯+−⋯−){displaystyle (+cdots +-cdots -)} с соответствующим числом плюсов и минусов.

Пример |

Квадратичная форма от двух переменных x1x2{displaystyle x_{1}x_{2}} может быть приведена к каноническому виду x~12−x~22,{displaystyle {tilde {x}}_{1}^{2}-{tilde {x}}_{2}^{2},} например, с помощью линейной замены переменных x1=x~1+x~2,{displaystyle x_{1}={tilde {x}}_{1}+{tilde {x}}_{2},} x2=x~1−x~2.{displaystyle x_{2}={tilde {x}}_{1}-{tilde {x}}_{2}.} Сигнатура этой квадратичной формы равна нулю или может быть записана в виде (1,1){displaystyle (1,1)} или в виде (+−).{displaystyle (+-).}

См. также |

• Псевдоевклидово пространство


• Пространство Минковского


• Квадратичная форма

Литература |

• 
  Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.


• 
  Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.


• 
  Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.


• 
  В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра, М.: Наука — Физматлит, 1999.


• 
  Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.