Gfrktyl

In analisi funzionale, la trasformata di Laplace, il cui nome è dovuto a Pierre Simon Laplace, è un operatore funzionale lineare, che rientra nella categoria delle trasformate integrali, che associa ad una funzione di variabile reale una funzione di variabile complessa.

Descrizione |

Definizione |

Sia data una funzione f(t){displaystyle f(t)} definita sui numeri reali. La sua trasformata di Laplace è la funzione definita sull'insieme continuo s{displaystyle s} data da

L{f}(s)=def∫−∞+∞e−stf(t)dt{displaystyle {mathcal {L}}left{fright}(s){stackrel {text{def}}{=}}int _{-infty }^{+infty }{text{e}}^{-st}f(t),{text{d}}t}

essendo e{displaystyle {text{e}}} il numero di Nepero (o Eulero) ed il parametro s{displaystyle s} un numero complesso

s=defσ+iω{displaystyle s{stackrel {text{def}}{=}}sigma +{text{i}}omega }

con σ{displaystyle sigma } e ω{displaystyle omega } numeri reali (i{displaystyle {text{i}}} è l'unità immaginaria). Talvolta la trasformata è indicata, meno rigorosamente, nella forma L{f(t)}{displaystyle {mathcal {L}}left{f(t)right}}.

Si può definire la trasformata di Laplace di una misura di Borel finita μ{displaystyle mu } attraverso l'integrale di Lebesgue:

(Lμ)(s)=def∫[0,+∞)e−stdμ(t){displaystyle ({mathcal {L}}mu )(s){stackrel {text{def}}{=}}int _{[0,+infty )}{text{e}}^{-st},{text{d}}mu (t)}

ed un importante caso particolare si verifica se μ{displaystyle mu } è una misura di probabilità.

La trasformata unilatera di Laplace è definita per t>0{displaystyle t>0} come:

Lu{f}(s)=def∫0+∞e−stf(t)dt{displaystyle {mathcal {L}}_{u}left{fright}(s){stackrel {text{def}}{=}}int _{0}^{+infty }{text{e}}^{-st}f(t),{text{d}}t}

La trasformata di Laplace tipicamente esiste per tutti i numeri reali Re(s)>a{displaystyle mathrm {Re} (s)>a}, dove a{displaystyle a} è una costante (chiamata ascissa di convergenza) che dipende dalla funzione originaria e che costituisce la regione di convergenza.

Si tratta di una trasformata integrale che gode di numerose proprietà, che la rendono utile per l'analisi dei sistemi dinamici lineari. Il vantaggio più significativo è che l'integrale e la derivata di una funzione diventano rispettivamente una divisione e una moltiplicazione per la variabile complessa, analogamente al modo in cui i logaritmi cambiano la moltiplicazione di numeri nella loro addizione. Essa consente di trasformare le equazioni integrali e le equazioni differenziali in equazioni polinomiali, che sono più immediate da risolvere. Anche la risposta (l'uscita) di un sistema dinamico lineare può essere calcolata come prodotto di convoluzione della sua risposta impulsiva unitaria con il segnale d'ingresso. Sviluppando questo calcolo nello spazio di Laplace la convoluzione diventa una moltiplicazione, che spesso rende il problema più semplice. In particolare nell'ingegneria dei sistemi la trasformata di Laplace della risposta impulsiva del sistema è la sua funzione di trasferimento che caratterizza il comportamento del sistema in oggetto:

H(s) =def L{h(t)} = ∫−∞+∞h(t)e−stdt{displaystyle H(s) {stackrel {text{def}}{=}} {mathcal {L}}{h(t)} = int _{-infty }^{+infty }h(t){text{e}}^{-st},{text{d}}t}

Teoria delle probabilità |

Nella teoria delle probabilità la trasformata di Laplace è definita come un valore atteso. Se X{displaystyle X} è una variabile casuale con funzione di densità di probabilità f{displaystyle f}, allora la trasformata di f{displaystyle f} è data dal valore di aspettazione:

(Lf)(s)=E[e−sX]{displaystyle ({mathcal {L}}f)(s)=Eleft[{text{e}}^{-sX}right]}

Con abuso di notazione, si riferisce a tale integrale come la trasformata di Laplace di X{displaystyle X} stesso, e sostituendo s{displaystyle s} con −t{displaystyle -t} si ha la funzione generatrice dei momenti di X{displaystyle X}. Di particolare interesse è la pratica di ottenere la funzione di distribuzione di probabilità di una variabile casuale X{displaystyle X} attraverso la trasformata di Laplace nel modo seguente:

FX(x)=Ls−1{E[e−sX]s}(x)=Ls−1{(Lf)(s)s}(x){displaystyle F_{X}(x)={mathcal {L}}_{s}^{-1}leftlbrace {frac {Eleft[{text{e}}^{-sX}right]}{s}}rightrbrace (x)={mathcal {L}}_{s}^{-1}leftlbrace {frac {left({mathcal {L}}fright)(s)}{s}}rightrbrace (x)}

Trasformata inversa |

Lo stesso argomento in dettaglio: Trasformata inversa di Laplace.

L'inversa della trasformata di Laplace è data dall'integrale di Bromwich, anche detto integrale di Fourier-Mellin o formula inversa di Mellin, un integrale complesso dato da

f(t)=L−1{F(s)}=12πilimT→+∞∫γ−iTγ+iTestF(s)ds{displaystyle f(t)={mathcal {L}}^{-1}{F(s)}={frac {1}{2pi {text{i}}}},lim _{Tto {+infty }}int _{gamma -{text{i}}T}^{gamma +{text{i}}T}{text{e}}^{st}F(s),{text{d}}s}

dove γ{displaystyle gamma } è un numero reale tale per cui il contorno del cammino di integrazione sia contenuto nella regione di convergenza di F(s){displaystyle F(s)}.

Si dimostra che se una funzione G(s){displaystyle G(s)} ha la trasformata inversa g(t){displaystyle g(t)}, ovvero g{displaystyle g} è una funzione continua a tratti che soddisfa la condizione

L{g}(s)=G(s){displaystyle {mathcal {L}}{g}(s)=G(s)}

allora g(t){displaystyle g(t)} è univocamente determinata.

Regione di convergenza |

Se f{displaystyle f} è una funzione localmente integrabile, o più in generale una misura di Borel sufficientemente regolare, allora la trasformata di Laplace F(s){displaystyle F(s)} di f{displaystyle f} converge se esiste il limite

limR→+∞∫0Rf(t)e−tsdt{displaystyle lim _{Rto {+infty }}int _{0}^{R}f(t){text{e}}^{-ts},{text{d}}t}

e converge assolutamente se esiste l'integrale di Lebesgue

∫0+∞|f(t)e−ts|dt{displaystyle int _{0}^{+infty }|f(t){text{e}}^{-ts}|,{text{d}}t}

Se si verifica soltanto la convergenza del primo tipo, la trasformata di Laplace converge condizionatamente.

Dal teorema della convergenza dominata segue che i valori tali per cui F(s){displaystyle F(s)} converge assolutamente sono tali che ℜ(s)>a{displaystyle Re (s)>a} oppure ℜ(s)≥a{displaystyle Re (s)geq a}, dove a{displaystyle a} appartiene alla retta reale estesa. Tale costante è detta ascissa di convergenza assoluta e dipende dal comportamento della crescita della funzione f{displaystyle f}. Nella regione di convergenza assoluta la trasformata è una funzione analitica.

L'insieme di valori in cui F(s){displaystyle F(s)} converge, condizionatamente o assolutamente, è la regione di convergenza (ROC). Se la trasformata di Laplace converge condizionatamente in s=s0{displaystyle s=s_{0}} allora converge per ogni s{displaystyle s} tale che ℜ(s)>ℜ(s0){displaystyle Re (s)>Re (s_{0})}, e di conseguenza la regione di convergenza è il semipiano ℜ(s)>a{displaystyle Re (s)>a} ed eventualmente punti sulla linea di frontiera ℜ(s)=a{displaystyle Re (s)=a}. Nella regione di convergenza ℜ(s)>ℜ(s0){displaystyle Re (s)>Re (s_{0})} la trasformata di Laplace può essere espressa integrando per parti:

F(s)=(s−s0)∫0+∞e−(s−s0)tβ(t)dtβ(u)=∫0ue−s0tf(t)dt{displaystyle F(s)=(s-s_{0})int _{0}^{+infty }{text{e}}^{-(s-s_{0})t}beta (t),{text{d}}tqquad beta (u)=int _{0}^{u}{text{e}}^{-s_{0}t}f(t),{text{d}}t}

evidenziando così il fatto che nella regione di convergenza la funzione F(s){displaystyle F(s)} può essere espressa come la trasformata di Laplace assolutamente convergente di qualche altra funzione, ed in particolare è analitica.

Proprietà |

• 
  Linearità:

L[∑i=1nKi⋅fi(t)]=∑i=1nKi⋅L[fi(t)]{displaystyle {mathcal {L}}{Biggl [}sum _{i=1}^{n}K_{i}cdot f_{i}(t){Biggr ]}=sum _{i=1}^{n}K_{i}cdot {mathcal {L}}{bigl [}f_{i}(t){bigr ]}}

• 
  Derivazione:

L{f′}=sL{f}−f(0−)L{f″}=s2L{f}−sf′(0−)−f(0−){displaystyle {mathcal {L}}{f'}=s{mathcal {L}}{f}-f(0^{-})qquad {mathcal {L}}{f''}=s^{2}{mathcal {L}}{f}-sf'(0^{-})-f(0^{-})}

L{f(n)}=snL{f}−sn−1f(0−)−⋯−f(n−1)(0−)=snL{f}−∑k=1nsn−kdk−1f(0)dtk−1{displaystyle {mathcal {L}}left{f^{(n)}right}=s^{n}{mathcal {L}}left{fright}-s^{n-1}f(0^{-})-cdots -f^{(n-1)}(0^{-})=s^{n}{mathcal {L}}left{fright}-sum _{k=1}^{n}s^{n-k}{frac {d^{k-1}f(0)}{dt^{k-1}}}}

L{tf(t)}=−L{f}′(s)L{f(t)t}=∫s∞L{f}(σ)dσ{displaystyle {mathcal {L}}{tf(t)}=-{mathcal {L}}left{fright}'(s)qquad {mathcal {L}}left{{frac {f(t)}{t}}right}=int _{s}^{infty }{mathcal {L}}left{fright}(sigma ),{text{d}}sigma }

• 
  Integrazione:

L{∫0tf(τ)dτ}=1sL{f(t)}{displaystyle {mathcal {L}}left{int _{0}^{t}f(tau ),{text{d}}tau right}={1 over s}{mathcal {L}}{f(t)}}

• Traslazione complessa:

L{eatf(t)}=L{f}(s−a)L−1{L{f}(s−a)}=eatf(t){displaystyle {mathcal {L}}left{{text{e}}^{at}f(t)right}={mathcal {L}}left{fright}(s-a)qquad {mathcal {L}}^{-1}left{{mathcal {L}}left{fright}(s-a)right}={text{e}}^{at}f(t)}

• Traslazione nel tempo:

L{f(t−a)Θ(t−a)}=e−asL{f}(s)L−1{e−asL{f}}=f(t−a)Θ(t−a){displaystyle {mathcal {L}}left{f(t-a)Theta (t-a)right}={text{e}}^{-as}{mathcal {L}}left{fright}(s)qquad {mathcal {L}}^{-1}left{{text{e}}^{-as}{mathcal {L}}left{fright}right}=f(t-a)Theta (t-a)}

dove Θ(t){displaystyle Theta (t)} è il gradino di Heaviside.

• Moltiplicazione per t{displaystyle t} alla n{displaystyle n}-esima potenza:

(−1)n L{tnf(t)}=dndsn[L{f}(s)]{displaystyle {mathcal {(}}-1)^{n} {mathcal {L}}{,t^{n}f(t)}={frac {{text{d}}^{n}}{{text{d}}s^{n}}}[{mathcal {L}}left{fright}(s)]}

• Prodotto di convoluzione:

L{f∗g}=L{f}L{g}{displaystyle {mathcal {L}}{f*g}={mathcal {L}}{f}{mathcal {L}}{g}}

• 
  Funzione periodica di periodo p{displaystyle p}:

L{f}=11−e−ps∫0pe−stf(t)dt{displaystyle {mathcal {L}}{f}={1 over 1-{text{e}}^{-ps}}int _{0}^{p}{text{e}}^{-st}f(t),{text{d}}t}

Teorema del valore iniziale e del valore finale |

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema dei limiti.

Si possono enunciare due teoremi che permettono di conoscere il valore iniziale e il valore finale della funzione partendo dalla sua trasformata. Essi valgono per funzioni di classe C1{displaystyle C^{1}}, causali (cioè nulle per t<0{displaystyle t<0}) e con ascissa di convergenza a<+∞{displaystyle a<+infty }. Il teorema del valore iniziale stabilisce che:

f(0)=limt→0f(t)=lims→∞sL{f}(s){displaystyle f(0)=lim _{tto 0}f(t)=lim _{sto infty }s,,{mathcal {L}}left{fright}(s)}

mentre il teorema del valore finale stabilisce che se è finito ed esiste f(+∞){displaystyle f(+infty )}, allora:

f(+∞)=limt→+∞f(t)=lims→0sL{f}(s){displaystyle f(+infty )=lim _{tto +infty }f(t)=lim _{sto 0}s,,{mathcal {L}}left{fright}(s)}

Trasformata di alcune funzioni notevoli |

• 
  Delta di Dirac:

L{δ(t)}=1{displaystyle {mathcal {L}}{delta (t)}=1}

• 
  Funzione gradino di Heaviside:

L{Θ(t)}=1s{displaystyle {mathcal {L}}{Theta (t)}={frac {1}{s}}}

• 
  Funzione rampa:

L{R(t)}=1s2{displaystyle {mathcal {L}}{R(t)}={frac {1}{s^{2}}}}

• 
  Funzione esponenziale:

L{eαt}=1s−α{displaystyle {mathcal {L}}{{{text{e}}^{alpha t}}}={frac {1}{s-alpha }}}

• 
  Seno:

L{sin(αt)}=αs2+α2{displaystyle {mathcal {L}}{mathrm {sin} (alpha t)}={frac {alpha }{s^{2}+alpha ^{2}}}}

L{eβtsin⁡(αt)}=α(s−β)2+α2{displaystyle {mathcal {L}}{{{text{e}}^{beta t}sin(alpha t)}}={frac {alpha }{(s-beta )^{2}+alpha ^{2}}}}

• 
  Coseno:

L{cos⁡(αt)}=ss2+α2{displaystyle {mathcal {L}}{cos(alpha t)}={frac {s}{s^{2}+alpha ^{2}}}}

L{eβtcos⁡(αt)}=s−β(s−β)2+α2{displaystyle {mathcal {L}}{{{text{e}}^{beta t}cos(alpha t)}}={frac {s-beta }{(s-beta )^{2}+alpha ^{2}}}}

• 
  Seno iperbolico:

L{sinh⁡(αt)}=αs2−α2{displaystyle {mathcal {L}}{sinh(alpha t)}={frac {alpha }{s^{2}-alpha ^{2}}}}

• 
  Coseno iperbolico:

L{cosh⁡(αt)}=ss2−α2{displaystyle {mathcal {L}}{cosh(alpha t)}={frac {s}{s^{2}-alpha ^{2}}}}

• 
  Logaritmo naturale:

L{ln⁡(t)}=−ln⁡(s)+γs{displaystyle {mathcal {L}}{ln(t)}=-{frac {ln(s)+gamma }{s}}}

• 
  Radice α{displaystyle alpha }-esima (detta gamma di Eulero):

L{tα}=s−α+1α⋅Γ(1+1α){displaystyle {mathcal {L}}{{sqrt[{alpha }]{t}}}=s^{-{frac {alpha +1}{alpha }}}cdot Gamma left(1+{frac {1}{alpha }}right)}

• 
  Funzioni di Bessel ordinarie:

L{Jα(t)}=(s+1+s2)−α1+s2{displaystyle {mathcal {L}}{J_{alpha }(t)}={frac {left(s+{sqrt {1+s^{2}}}right)^{-alpha }}{sqrt {1+s^{2}}}}}

• Funzioni di Bessel modificate:

L{Iα(t)}=(s+−1+s2)−α−1+s2{displaystyle {mathcal {L}}{I_{alpha }(t)}={frac {left(s+{sqrt {-1+s^{2}}}right)^{-alpha }}{sqrt {-1+s^{2}}}}}

• 
  Funzione degli errori:

L{erf⁡(t)}=es2/4erfc⁡(s/2)s{displaystyle {mathcal {L}}{operatorname {erf} (t)}={{text{e}}^{s^{2}/4}operatorname {erfc} left(s/2right) over s}}

Relazione con le altre trasformate |

Trasformata di Laplace–Stieltjes |

Lo stesso argomento in dettaglio: Trasformata di Laplace-Stieltjes.

La trasformata di Laplace–Stieltjes di una funzione a variazione limitata g:R→R{displaystyle g:mathbb {R} to mathbb {R} } è l'integrale di Lebesgue-Stieltjes dato da:

{L∗g}(s)=∫0+∞e−stdg(t){displaystyle {{mathcal {L}}^{*}g}(s)=int _{0}^{+infty }{text{e}}^{-st}{text{d}}g(t)}

Se g{displaystyle g} è la primitiva di f{displaystyle f}:

g(x)=∫0xf(t)dt{displaystyle g(x)=int _{0}^{x}f(t),{text{d}}t}

allora la trasformata di Laplace–Stieltjes di g{displaystyle g} coincide con la trasformata di Laplace di f{displaystyle f}. In generale, la trasformata di Laplace–Stieltjes è la trasformata di Laplace della misura di Stieltjes associata a g{displaystyle g}.

Trasformata di Mellin |

Lo stesso argomento in dettaglio: Trasformata di Mellin.

La trasformata di Mellin e la sua inversa si ottengono dalla trasformata di Laplace con un cambio di coordinate. Se nella trasformata di Mellin:

G(s)=M{g(θ)}=∫0+∞θsg(θ)dθθ{displaystyle G(s)={mathcal {M}}left{g(theta )right}=int _{0}^{+infty }theta ^{s}g(theta ){frac {dtheta }{theta }}}

si pone θ=e−t{displaystyle theta ={text{e}}^{-t}}, si ha la trasformata di Laplace.

Trasformata di Fourier |

Lo stesso argomento in dettaglio: trasformata di Fourier.

La trasformata di Fourier è equivalente al valutare la trasformata di Laplace bilatera con argomento immaginario s=iω=i2πf{displaystyle s={text{i}}omega ={text{i}}2pi f}:

f^(ω)=F{f(t)}=L{f(t)}|s=iω=F(s)|s=iω=∫−∞+∞e−iωtf(t)dt{displaystyle {hat {f}}(omega )={mathcal {F}}left{f(t)right}={mathcal {L}}left{f(t)right}|_{s={text{i}}omega }=F(s)|_{s={text{i}}omega }=int _{-infty }^{+infty }{text{e}}^{-{text{i}}omega t}f(t),{text{d}}t}

e tale definizione è valida se e solo se la regione di convergenza di F(s){displaystyle F(s)} contiene l'asse immaginario. Inoltre, richiede la presenza del fattore 1/2π{displaystyle 1/{2pi }} nella trasformata di Fourier inversa. Una relazione del tipo:

limσ→0+F(σ+iω)=f^(ω){displaystyle lim _{sigma to 0^{+}}F(sigma +{text{i}}omega )={hat {f}}(omega )}

vale tuttavia sotto condizioni meno restrittive, e le condizioni generali che relazionano il limite della trasformata di Laplace di una funzione sul bordo con la trasformata di Fourier sono date dal teorema di Paley-Wiener.

Trasformata zeta |

Lo stesso argomento in dettaglio: trasformata zeta.

La trasformata zeta unilatera è la trasformata di Laplace di un segnale campionato in modo ideale con la sostituzione:

z=esT{displaystyle z={text{e}}^{sT}}

dove T=1/fs{displaystyle T=1/f_{s}} è il periodo di campionamento, con fs{displaystyle f_{s}} la frequenza di campionamento (misurata in campioni per secondo o in hertz).

Sia

ΔT(t) =def ∑n=0+∞δ(t−nT){displaystyle Delta _{T}(t) {stackrel {mathrm {def} }{=}} sum _{n=0}^{+infty }delta (t-nT)}

un treno di impulsi e sia

xq(t)=defx(t)ΔT(t)=x(t)∑n=0+∞δ(t−nT)=∑n=0+∞x(nT)δ(t−nT)=∑n=0+∞x[n]δ(t−nT){displaystyle {begin{aligned}x_{q}(t)&{stackrel {mathrm {def} }{=}}x(t)Delta _{T}(t)\&=x(t)sum _{n=0}^{+infty }delta (t-nT)\&=sum _{n=0}^{+infty }x(nT)delta (t-nT)\&=sum _{n=0}^{+infty }x[n]delta (t-nT)end{aligned}}}

la rappresentazione tempo-continua del segnale x[n]=defx(nT){displaystyle x[n]{stackrel {mathrm {def} }{=}}x(nT)} ottenuto campionando x(t){displaystyle x(t)}. La trasformata di Laplace di xq(t){displaystyle x_{q}(t)} è data da:

Xq(s)=∫0−∞xq(t)e−stdt=∫0−+∞∑n=0+∞x[n]δ(t−nT)e−stdt=∑n=0+∞x[n]∫0−+∞δ(t−nT)e−stdt=∑n=0+∞x[n]e−nsT{displaystyle {begin{aligned}X_{q}(s)&=int _{0^{-}}^{infty }x_{q}(t){text{e}}^{-st},{text{d}}t\&=int _{0^{-}}^{+infty }sum _{n=0}^{+infty }x[n]delta (t-nT){text{e}}^{-st},{text{d}}t\&=sum _{n=0}^{+infty }x[n]int _{0^{-}}^{+infty }delta (t-nT){text{e}}^{-st},{text{d}}t\&=sum _{n=0}^{+infty }x[n]{text{e}}^{-nsT}end{aligned}}}

Si tratta della definizione della trasformata zeta unilatera della funzione tempo-discreta x[n]{displaystyle x[n]}, ovvero

X(z)=∑n=0+∞x[n]z−n{displaystyle X(z)=sum _{n=0}^{+infty }x[n]z^{-n}}

con la sostituzione z←esT{displaystyle zleftarrow {text{e}}^{sT}}. Confrontando le ultime due relazioni si ottiene quindi la relazione tra la trasformata zeta unilatera e la trasformata di Laplace del segnale campionato

Xq(s)=X(z)|z=esT{displaystyle X_{q}(s)=X(z){Big |}_{z={text{e}}^{sT}}}

Applicazione alle equazioni differenziali |

Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione differenziale lineare.

Nell'ambito della teoria delle equazioni differenziali lineari a valori iniziali dati, le proprietà della trasformata di Laplace, in particolare la linearità e la formula per le derivate di funzioni, possono essere utilizzate come potente mezzo risolutivo. Considerando la proprietà della trasformata:

L{f′}=sL{f}−f(0)L{f″}=s2L{f}−sf(0)−f′(0){displaystyle {mathcal {L}}{f'}=s{mathcal {L}}{f}-f(0)qquad {mathcal {L}}{f''}=s^{2}{mathcal {L}}{f}-sf(0)-f'(0)}

si può facilmente dimostrare per induzione che:

L{f(n)}=snL{f}−∑i=1nsn−if(i−1)(0){displaystyle {mathcal {L}}{f^{(n)}}=s^{n}{mathcal {L}}{f}-sum _{i=1}^{n}s^{n-i}f^{(i-1)}(0)}

Si consideri ora la seguente equazione differenziale:

∑i=0naif(i)(t)=ϕ(t){displaystyle sum _{i=0}^{n}a_{i}f^{(i)}(t)=phi (t)}

con valori iniziali dati:

f(i)(0)=ci{displaystyle f^{(i)}(0)=c_{i}}

Usando la linearità della trasformata di Laplace è equivalente riscrivere l'equazione come:

∑i=0naiL{f(i)(t)}=L{ϕ(t)}{displaystyle sum _{i=0}^{n}a_{i}{mathcal {L}}{f^{(i)}(t)}={mathcal {L}}{phi (t)}}

ottenendo:

L{f(t)}∑i=0naisi−∑i=1n∑j=1iaisi−jf(j−1)(0)=L{ϕ(t)}{displaystyle {mathcal {L}}{f(t)}sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}-sum _{i=1}^{n}sum _{j=1}^{i}a_{i}s^{i-j}f^{(j-1)}(0)={mathcal {L}}{phi (t)}}

Risolvendo l'equazione per L{f(t)}{displaystyle {mathcal {L}}{f(t)}} e sostituendo f(i)(0){displaystyle f^{(i)}(0)} con ci{displaystyle c_{i}} si ottiene:

L{f(t)}=L{ϕ(t)}+∑i=1n∑j=1iaisi−jcj−1∑i=0naisi{displaystyle {mathcal {L}}{f(t)}={frac {{mathcal {L}}{phi (t)}+sum _{i=1}^{n}sum _{j=1}^{i}a_{i}s^{i-j}c_{j-1}}{sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}}}}

La soluzione per f(t){displaystyle f(t)} è ottenuta applicando la trasformata inversa di Laplace a L{f(t)}{displaystyle {mathcal {L}}{f(t)}}.

Si noti che se tutti i valori iniziali sono zero, cioè:

f(i)(0)=ci=0∀i∈{0,1,2,… n}{displaystyle f^{(i)}(0)=c_{i}=0quad forall iin {0,1,2,dots n}}

allora la formula si semplifica a:

f(t)=L−1{L{ϕ(t)}∑i=0naisi}{displaystyle f(t)={mathcal {L}}^{-1}left{{{mathcal {L}}{phi (t)} over sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}}right}}

Esempio 1 |

Si vuole risolvere:

f″(t)+4f(t)=sin⁡(2t){displaystyle f''(t)+4f(t)=sin(2t)}

con valori iniziali f(0)=0{displaystyle f(0)=0} e f′(0)=0{displaystyle f'(0)=0}.

Si nota che:

ϕ(t)=sin⁡(2t){displaystyle phi (t)=sin(2t)}

ottenendo:

L{ϕ(t)}=2s2+4{displaystyle {mathcal {L}}{phi (t)}={frac {2}{s^{2}+4}}}

L'equazione è quindi equivalente a:

s2L{f(t)}−sf(0)−f′(0)+4L{f(t)}=L{ϕ(t)}{displaystyle s^{2}{mathcal {L}}{f(t)}-sf(0)-f'(0)+4{mathcal {L}}{f(t)}={mathcal {L}}{phi (t)}}

Si deduce quindi che:

L{f(t)}=2(s2+4)2{displaystyle {mathcal {L}}{f(t)}={frac {2}{(s^{2}+4)^{2}}}}

Applicando la trasformata inversa di Laplace si ottiene:

f(t)=18sin⁡(2t)−t4cos⁡(2t){displaystyle f(t)={frac {1}{8}}sin(2t)-{frac {t}{4}}cos(2t)}

Esempio 2 |

Si consideri l'equazione:

N˙=−λN{displaystyle {dot {N}}=-lambda N}

questa equazione è la relazione fondamentale che descrive il decadimento radioattivo, dove:

N = N(t){displaystyle N = N(t)}

rappresenta il numero di atomi non decaduti in un campione di isotopi radioattivi al tempo t{displaystyle t}, e λ{displaystyle lambda } è la costante di decadimento. Si può usare la trasformata di Laplace per risolvere questa equazione. Riscrivendo l'equazione da una parte si ha:

N˙+λN=0{displaystyle {dot {N}}+lambda N=0}

trasformando entrambi i membri:

(sN(s)−No)+λN(s) = 0{displaystyle (s{N}(s)-N_{o})+lambda {N}(s) = 0}

dove:

N(s)=L{N(t)}No = N(0){displaystyle {N}(s)={mathcal {L}}{{N(t)}}qquad N_{o} = N(0)}

Risolvendo si trova:

N(s)=Nos+λ{displaystyle {N}(s)={N_{o} over s+lambda }}

Alla fine, si antitrasforma per trovare la soluzione generale:

N(t) = Noe−λt{displaystyle N(t) = N_{o}{text{e}}^{-lambda t}}

che è il risultato corretto che descrive il decadimento radioattivo.

Esempio 3 |

Si consideri un circuito RC in tensione continua V{displaystyle V} definita come:

V:={0,t<0,V¯≠0,t≥0{displaystyle V:={begin{cases}0,&t<0,\{overline {V}}neq 0,&tgeq 0end{cases}}}

e con condizioni iniziali I(0)=VC(0)=0{displaystyle I(0)=V_{text{C}}(0)=0} (si tratta della carica di un condensatore). Usando le leggi di Kirchhoff, si ha che la sua equazione caratteristica è:

V=IR+1C∫0tI(t′)dt′{displaystyle V=IR+{dfrac {1}{C}}int _{0}^{t}I(t'),mathrm {d} t'}

Trasformando secondo Laplace da entrambe le parti:

V¯s=I~R+1sCI~⟹I~=V¯R1s+1τ{displaystyle {dfrac {overline {V}}{s}}={tilde {I}}R+{dfrac {1}{sC}}{tilde {I}}implies {tilde {I}}={dfrac {overline {V}}{R}}{dfrac {1}{s+{dfrac {1}{tau }}}}}

dove si è indicato I~{displaystyle {tilde {I}}} la trasformata di Laplace di I{displaystyle I} e τ=RC{displaystyle tau =RC}. Dunque, antitrasformando:

I=V¯Rexp⁡(−tτ){displaystyle I={frac {overline {V}}{R}}exp left(-{dfrac {t}{tau }}right)}

che è la nota espressione per la corrente in un circuito RC in fase di carica.

Esempio 4 |

Studiamo l'equazione del moto armonico semplice:

θ¨(t)+ω2θ(t)=0{displaystyle {ddot {theta }}(t)+omega ^{2}theta (t)=0}

con θ(0)=θ0, θ˙(0)=θ˙0{displaystyle theta (0)=theta _{0}, {dot {theta }}(0)={dot {theta }}_{0}}. Trasformando secondo Laplace da entrambe le parti:

s2θ~−sθ0−θ˙0+ω2θ~=0⟹θ~=θ0ss2+ω2+θ˙0ωωs2+ω2{displaystyle s^{2}{tilde {theta }}-stheta _{0}-{dot {theta }}_{0}+omega ^{2}{tilde {theta }}=0implies {tilde {theta }}=theta _{0}{dfrac {s}{s^{2}+omega ^{2}}}+{dfrac {{dot {theta }}_{0}}{omega }}{dfrac {omega }{s^{2}+omega ^{2}}}}

e dunque, antitrasformando:

θ(t)=θ0cos⁡ωt+θ˙0ωsin⁡ωt=Asin⁡(ωt+φ){displaystyle theta (t)=theta _{0}cos omega t+{dfrac {{dot {theta }}_{0}}{omega }}sin omega t=Asin left(omega t+varphi right)}

avendo posto

sin⁡φ=θ0θ02+(θ˙0ω)2, cos⁡φ=θ˙0ωθ02+(θ˙0ω)2, A=θ02+(θ˙0ω)2.{displaystyle sin varphi ={frac {theta _{0}}{sqrt {theta _{0}^{2}+left({dfrac {{dot {theta }}_{0}}{omega }}right)^{2}}}}, cos varphi ={frac {dfrac {{dot {theta }}_{0}}{omega }}{sqrt {theta _{0}^{2}+left({dfrac {{dot {theta }}_{0}}{omega }}right)^{2}}}}, A={sqrt {theta _{0}^{2}+left({dfrac {{dot {theta }}_{0}}{omega }}right)^{2}}}.}

Bibliografia |

• (EN) K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Mathematical methods for physics and engineering, 3rd, Cambridge University Press, 2010, p. 455, ISBN 978-0-521-86153-3.


• (EN) J.J.Distefano, A.R. Stubberud, I.J. Williams, Feedback systems and control, 2nd, Schaum's outlines, 1995, p. 78, ISBN 0-07-017052-5.


• (EN) M. Abramowitz e I. Stegun. Handbook of Mathematical Functions. Dover, Nueva York, 1964. (capitolo 29)


• (EN) J. C. Jaeger An Introduction To The Laplace Transformation. Methuen and co., 1949.


• (EN) David Vernon Widder. The Laplace Transform. Princeton University Press, 1946.


• (EN) A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
  

Voci correlate |

• Analisi dei sistemi dinamici


• Integrale di Lebesgue


• Misura di Borel


• Sistema dinamico


• Sistema dinamico lineare


• Sistema dinamico lineare stazionario


• Trasformata di Fourier


• Trasformata di Laplace-Stieltjes


• Trasformata integrale


• Trasformata inversa di Laplace


• Trasformata zeta

Altri progetti |

• 
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Collegamenti esterni |

• 
  


• 
  Trasformata di Laplace, su thes.bncf.firenze.sbn.it, Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze.
  


• 
  (EN) Trasformata di Laplace, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
  


• 
  Calcolo online della trasformata e della trasformata inversa in wims.unice.fr


• (EN) K. S. Kölbig Laplace transform Academic Training Lectures CERN, Geneva, Switzerland, 1 Sep 1968 - 30 Jun 1969


• (EN) EqWorld Trasformata di Laplace
  


• (EN) MathWorld Trasformata di Laplace
  


• [1]

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