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In analisi matematica, il metodo di variazione delle costanti o metodo di Lagrange è una procedura generale che consente di determinare l'integrale generale di un'equazione differenziale lineare di qualunque ordine e qualunque sia la funzione continua f(t){displaystyle f(t)} che costituisce il termine noto. Questo metodo risulta applicabile laddove si riescano a determinare n soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea associata e delle primitive di opportune funzioni che forniscono la soluzione di un sistema.

Il metodo è qui illustrato inizialmente per equazioni del primo e del secondo ordine, e quindi generalizzato a equazioni di ordine n arbitrario. La variabile da cui dipende la funzione incognita y{displaystyle y} è chiamata in tutti gli esempi t{displaystyle t}.

Equazioni del primo ordine |

Una equazione differenziale del primo ordine in forma normale è del tipo:

y′(t)+a(t)y(t)=f(t){displaystyle y'(t)+a(t)y(t)=f(t)}

Il metodo di variazione delle costanti consiste nella ricerca di soluzioni del tipo:

y~(t)=c(t)e−A(t){displaystyle displaystyle {tilde {y}}(t)=c(t)e^{-A(t)}}

ottenute a partire da una soluzione dell'equazione omogenea associata:

y′(t)+a(t)y(t)=0{displaystyle y'(t)+a(t)y(t)=0}

del tipo:

y(t)=ce−A(t){displaystyle y(t)=ce^{-A(t)}}

dove A(t){displaystyle A(t)} è una primitiva di a(t){displaystyle a(t)} e c{displaystyle c} è una costante arbitraria. Il motivo per cui il metodo si chiama così è dovuto al fatto che la costante c{displaystyle c} viene trasformata in una funzione c(t){displaystyle c(t)} da determinare.

Il metodo consiste essenzialmente nella sostituzione di y~{displaystyle {tilde {y}}} nell'equazione differenziale originaria. Per effettuare la sostituzione, è necessario calcolare innanzitutto la derivata prima, usando la regola di Leibniz:

y~′(t)=c′(t)y(t)+c(t)y′(t){displaystyle {tilde {y}}'(t)=c'(t)y(t)+c(t)y'(t)}

Sostituendo quanto appena ricavato nell'equazione di partenza si ottiene:

c′(t)y(t)+c(t)y′(t)+a(t)y~=f(t){displaystyle c'(t)y(t)+c(t)y'(t)+a(t){tilde {y}}=f(t)}

da cui, sostituendo:

c′(t)e−A(t)−c(t)a(t)e−A(t)+c(t)a(t)e−A(t)=f(t){displaystyle c'(t)e^{-A(t)}-c(t)a(t)e^{-A(t)}+c(t)a(t)e^{-A(t)}=f(t)}

Semplificando si ottiene:

c′(t)e−A(t)=f(t){displaystyle c'(t)e^{-A(t)}=f(t)}

Isolando ciò che ci interessa e integrando entrambi i membri:

c(t)=∫f(t)eA(t)dt{displaystyle c(t)=int f(t)e^{A(t)}dt}

da cui l'integrale generale dell'equazione completa è:

y~=e−A(t)∫f(t)eA(t)dt{displaystyle {tilde {y}}=e^{-A(t)}int f(t)e^{A(t)}dt}

A questo punto l'unica difficoltà è il calcolo di un integrale che può non essere immediato, o addirittura, non risolvibile con metodi analitici.

Equazioni del secondo ordine |

Una equazione differenziale del secondo ordine è del tipo:

y″(t)+a(t)y′(t)+b(t)y(t)=f(t){displaystyle y''(t)+a(t)y'(t)+b(t)y(t)=f(t)}

Il metodo di variazione delle costanti in questo caso consiste nella ricerca di soluzioni del tipo:

y~=c1(t)y1(t)+c2(t)y2(t){displaystyle displaystyle {tilde {y}}=c_{1}(t)y_{1}(t)+c_{2}(t)y_{2}(t)}

costruite a partire da due soluzioni y1(t){displaystyle y_{1}(t)} e y2(t){displaystyle y_{2}(t)} dell'equazione omogenea associata:

y″(t)+a(t)y′(t)+b(t)y(t)=0{displaystyle y''(t)+a(t)y'(t)+b(t)y(t)=0}

Poiché spesso l'equazione omogenea associata è di più semplice risoluzione, questo metodo risulta essere utile in molti casi concreti.

Il metodo consiste essenzialmente nella sostituzione di y~{displaystyle {tilde {y}}} nell'equazione differenziale originaria. Per effettuare la sostituzione, è necessario calcolare innanzitutto la derivata prima, usando la regola di Leibniz:

y~′(t)=c1′(t)y1(t)+c2′(t)y2(t)+c1(t)y1′(t)+c2(t)y2′(t){displaystyle {tilde {y}}'(t)=c_{1}'(t)y_{1}(t)+c_{2}'(t)y_{2}(t)+c_{1}(t)y_{1}'(t)+c_{2}(t)y_{2}'(t)}

Al fine di semplificare i calcoli, si impone la condizione seguente:

c1′(t)y1(t)+c2′(t)y2(t)=0{displaystyle c_{1}'(t)y_{1}(t)+c_{2}'(t)y_{2}(t)=0}

Questo fa sì che risulti:

y~′=c1(t)y1′(t)+c2(t)y2′(t){displaystyle {tilde {y}}'=c_{1}(t)y_{1}'(t)+c_{2}(t)y_{2}'(t)}

e di conseguenza:

y~″=c1′(t)y1′(t)+c2′(t)y2′(t)+c1(t)y1″(t)+c2(t)y2″(t){displaystyle {tilde {y}}''=c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t)+c_{1}(t)y_{1}''(t)+c_{2}(t)y_{2}''(t)}

Sostituendo quanto appena ricavato nell'equazione di partenza si ottiene:

(c1′(t)y1′(t)+c2′(t)y2′(t)+c1(t)y1″(t)+c2(t)y2″(t))+a(c1(t)y1′(t)+c2(t)y2′(t))+b(c1(t)y1(t)+c2(t)y2(t))=f(t){displaystyle (c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t)+c_{1}(t)y_{1}''(t)+c_{2}(t)y_{2}''(t))+a(c_{1}(t)y_{1}'(t)+c_{2}(t)y_{2}'(t))+b(c_{1}(t)y_{1}(t)+c_{2}(t)y_{2}(t))=f(t)}

e quindi:

c1(t)(y1″(t)+ay1′(t)+by1(t))+c2(t)(y2″(t)+ay2′(t)+by2(t))+(c1′(t)y1′(t)+c2′(t)y2′(t))=f(t){displaystyle c_{1}(t)(y_{1}''(t)+ay_{1}'(t)+by_{1}(t))+c_{2}(t)(y_{2}''(t)+ay_{2}'(t)+by_{2}(t))+(c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t))=f(t)}

I primi due addendi sono identicamente nulli, poiché y1(t){displaystyle y_{1}(t)} e y2(t){displaystyle y_{2}(t)} sono soluzioni dell'equazione omogenea, quindi il tutto si riduce a:

c1′(t)y1′(t)+c2′(t)y2′(t)=f(t){displaystyle c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t)=f(t)}

Tutto ciò porta allo studio del sistema lineare di due equazioni nelle incognite c1′{displaystyle c_{1}'} e c2′{displaystyle c_{2}'}:

{c1′(t)y1(t)+c2′(t)y2(t)=0c1′(t)y1′(t)+c2′(t)y2′(t)=f(t){displaystyle left{{begin{matrix}c_{1}'(t)y_{1}(t)+c_{2}'(t)y_{2}(t)=0\c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t)=f(t)end{matrix}}right.}

Il determinante della matrice:

(y1(t)y2(t)y1′(t)y2′(t)){displaystyle left({begin{matrix}y_{1}(t)&y_{2}(t)\y_{1}'(t)&y_{2}'(t)end{matrix}}right)}

è il wronskiano di y1(t){displaystyle y_{1}(t)} e y2(t){displaystyle y_{2}(t)}: questo è nullo se e solo se le due soluzioni sono dipendenti. Ne segue che in questo caso non è mai nullo, ed il sistema ha sempre una soluzione, data da:

c1′(t)=−y2(t)f(t)y2′(t)y1(t)−y1′(t)y2(t)c2′(t)=y1(t)f(t)y2′(t)y1(t)−y1′(t)y2(t){displaystyle c_{1}'(t)={frac {-y_{2}(t)f(t)}{y_{2}'(t)y_{1}(t)-y_{1}'(t)y_{2}(t)}}qquad qquad c_{2}'(t)={frac {y_{1}(t)f(t)}{y_{2}'(t)y_{1}(t)-y_{1}'(t)y_{2}(t)}}}

Integrando c1′(t){displaystyle c_{1}'(t)} e c2′(t){displaystyle c_{2}'(t)} si può ottenere a scelta o una soluzione particolare dell'equazione di partenza (integrando definitamente) o l'integrale generale dell'equazione di partenza (integrando indefinitamente).

Equazioni di ordine n |

Nel caso di equazioni di ordine n:

y(n)(t)+an−1(t)y(n−1)(t)+⋯+a0(t)y(t)=f(t){displaystyle y^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+cdots +a_{0}(t)y(t)=f(t)}

si considerano le n soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea e si cerca una soluzione particolare dell'equazione nella forma:

y~=c1(t)y1(t)+c2(t)y2(t)+⋯+cn(t)yn(t){displaystyle {tilde {y}}=c_{1}(t)y_{1}(t)+c_{2}(t)y_{2}(t)+cdots +c_{n}(t)y_{n}(t)}

Si risolve quindi il sistema lineare nelle n incognite ci′(t){displaystyle c_{i}'(t)}:

{c1′(t)y1(t)+c2′(t)y2(t)+⋯+cn′(t)yn(t)=0c1′(t)y1′(t)+c2′(t)y2′(t)+⋯+cn′(t)yn′(t)=0⋯⋯⋯⋯c1′(t)y1(n−2)(t)+c2′(t)y2(n−2)(t)+⋯+cn′(t)yn(n−2)(t)=0c1′(t)y1(n−1)(t)+c2′(t)y2(n−1)(t)+⋯+cn′(t)yn(n−1)(t)=f(t){displaystyle {begin{cases}c_{1}'(t)y_{1}(t)+c_{2}'(t)y_{2}(t)+cdots +c_{n}'(t)y_{n}(t)=0\c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t)+cdots +c_{n}'(t)y_{n}'(t)=0\cdots cdots cdots cdots \c_{1}'(t)y_{1}^{(n-2)}(t)+c_{2}'(t)y_{2}^{(n-2)}(t)+cdots +c_{n}'(t)y_{n}^{(n-2)}(t)=0\c_{1}'(t)y_{1}^{(n-1)}(t)+c_{2}'(t)y_{2}^{(n-1)}(t)+cdots +c_{n}'(t)y_{n}^{(n-1)}(t)=f(t)end{cases}}}

Il determinante di questo sistema viene detto determinante wronskiano e, come sopra, si può dimostrare che è sempre non nullo a partire dall'indipendenza delle soluzioni dell'equazione omogenea. Si determinano le funzioni incognite integrando gli n termini soluzioni del sistema di cui sopra, per ricavare l'integrale generale dell'equazione.

Nello specifico, data un'equazione ordinaria lineare non omogenea:

y(n)(t)+∑i=0n−1ai(t)y(i)(t)=b(t){displaystyle y^{(n)}(t)+sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(t)y^{(i)}(t)=b(t)}

sia y1(t…,yn(t){displaystyle y_{1}(tldots ,y_{n}(t)} un sistema fondamentale di soluzioni della corrispondente equazione omogenea:

y(n)(t)+∑i=0n−1ai(t)y(i)(t)=0{displaystyle y^{(n)}(t)+sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(t)y^{(i)}(t)=0}

Allora una soluzione particolare dell'equazione non omogenea è data da:

yp(t)=∑i=1nci(t)yi(t){displaystyle y_{p}(t)=sum _{i=1}^{n}c_{i}(t)y_{i}(t)}

dove ci(t){displaystyle c_{i}(t)} sono funzioni differenziabili che si assume soddisfino le condizioni:

∑i=1nci′(t)yi(j)(t)=0j=0,…,n−2{displaystyle sum _{i=1}^{n}c_{i}'(t)y_{i}^{(j)}(t)=0qquad j=0,ldots ,n-2}

Considerando la soluzione particolare dell'equazione omogenea, differenziando ripetutamente e utilizzando le condizioni precedenti:

yp(j)(t)=∑i=1nci(t)yi(j)(t)j=0,…,n−1{displaystyle y_{p}^{(j)}(t)=sum _{i=1}^{n}c_{i}(t)y_{i}^{(j)}(t)qquad j=0,ldots ,n-1}

Con un'ultima differenziazione si ha:

yp(n)(t)=∑i=1nci′(t)yi(n−1)(t)+∑i=1nci(t)yi(n)(t){displaystyle y_{p}^{(n)}(t)=sum _{i=1}^{n}c_{i}'(t)y_{i}^{(n-1)}(t)+sum _{i=1}^{n}c_{i}(t)y_{i}^{(n)}(t)}

Sostituendo quindi la soluzione particolare nell'equazione di partenza e applicando le ultime due relazioni si ottiene:

∑i=1nci′(t)yi(n−1)(t)=b(t){displaystyle sum _{i=1}^{n}c_{i}'(t)y_{i}^{(n-1)}(t)=b(t)}

Questa equazione e la precedente sono sistemi lineari che possono essere risolti con la regola di Cramer:

ci′(t)=Wi(t)W(t)i=1,…,n{displaystyle c_{i}'(t)={frac {W_{i}(t)}{W(t)}}qquad i=1,ldots ,n}

dove W(t){displaystyle W(t)} è il wronskiano del sistema fondamentale di soluzioni e Wi(t){displaystyle W_{i}(t)} è il wronskiano del sistema fondamentale con l'i-esima colonna rimpiazzata da (0,0,…,b(t)){displaystyle (0,0,ldots ,b(t))}.

La soluzione particolare dell'equazione non omogenea può essere scritta come:

yp(t)=∑i=1nyi(t)∫Wi(t)W(t)dt{displaystyle y_{p}(t)=sum _{i=1}^{n}y_{i}(t),int {frac {W_{i}(t)}{W(t)}}dt}

Bibliografia |

• (EN) Earl A. Coddington e Norman Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, New York, McGraw-Hill, 1955.


• 
  (EN) W. E. Boyce e R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems 8th Edition, Wiley Interscience, 1965., pages 186-192, 237-241


• (EN) Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Providence, American Mathematical Society.

Voci correlate |

• Equazione differenziale


• Equazione differenziale lineare


• Equazione differenziale lineare del secondo ordine


• Equazione differenziale lineare di ordine superiore al primo


• Metodi di soluzione analitica per equazioni differenziali ordinarie

Collegamenti esterni |

• (EN) N.Kh. Rozov, Variation of constants, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.


• 
  (EN) Eric W. Weisstein, Variation of Parameters, in MathWorld, Wolfram Research.
  

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