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In matematica, per separazione delle variabili o metodo di Fourier si intende una strategia risolutiva per equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali in cui è possibile riscrivere l'equazione in modo che due date variabili compaiano l'una al membro di destra e l'altra al membro di sinistra dell'equazione.

Equazioni differenziali ordinarie |

Si supponga che un'equazione differenziale ordinaria (ODE) si possa scrivere nella forma:

dydx=g(x)h(y){displaystyle {frac {dy}{dx}}=g(x)h(y)}

con y=f(x){displaystyle y=f(x)}. Se h(y)≠0{displaystyle h(y)neq 0} si possono riordinare i termini:

∫dyh(y)=∫g(x)dx{displaystyle int {dy over h(y)}=int {g(x)dx}}

in modo che le variabili x{displaystyle x} e y{displaystyle y} siano separate ognuna in uno dei due membri.

Una delle equazioni più significative a cui si applica il metodo è y′=ay{displaystyle y'=ay}, la crescita esponenziale.

Esempio |

Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione logistica.

La crescita di una popolazione è spesso modellata da un'equazione differenziale del tipo:

dPdt=kP(1−PK){displaystyle {frac {dP}{dt}}=kPleft(1-{frac {P}{K}}right)}

dove P{displaystyle P} è la popolazione in funzione del tempo t{displaystyle t}, k{displaystyle k} è il suo tasso di crescita e K{displaystyle K} è la capacità portante dell'ambiente. Riordinando i termini e integrando:

∫dPP(1−PK)=∫kdt{displaystyle int {frac {dP}{Pleft(1-{frac {P}{K}}right)}}=int k,dt}

Per valutare l'integrale a sinistra si semplifica la frazione:

1P(1−PK)=KP(K−P){displaystyle {frac {1}{Pleft(1-{frac {P}{K}}right)}}={frac {K}{Pleft(K-Pright)}}}

e quindi la si decompone in fratti semplici:

KP(K−P)=1P+1K−P{displaystyle {frac {K}{Pleft(K-Pright)}}={frac {1}{P}}+{frac {1}{K-P}}}

Si ha quindi:

∫(1P+1K−P)dP=∫kdt{displaystyle int left({frac {1}{P}}+{frac {1}{K-P}}right),dP=int k,dt}

Uguagliando gli integrandi:

ln⁡|P|−ln⁡|K−P|=kt+C{displaystyle ln {begin{vmatrix}Pend{vmatrix}}-ln {begin{vmatrix}K-Pend{vmatrix}}=kt+C}

da cui:

ln⁡|K−P|−ln⁡|P|=−kt−C{displaystyle ln {begin{vmatrix}K-Pend{vmatrix}}-ln {begin{vmatrix}Pend{vmatrix}}=-kt-C}

per le proprietà dei logaritmi:

ln⁡|K−PP|=−kt−C{displaystyle ln {begin{vmatrix}{cfrac {K-P}{P}}end{vmatrix}}=-kt-C}

Si ha:

|K−PP|=e−kt−C=e−Ce−kt{displaystyle {begin{vmatrix}{cfrac {K-P}{P}}end{vmatrix}}=e^{-kt-C}=e^{-C}e^{-kt}}

e quindi:

K−PP=±e−Ce−kt{displaystyle {frac {K-P}{P}}=pm e^{-C}e^{-kt}}

Sia A=±e−C{displaystyle A=pm e^{-C}}. Allora:

K−PP=Ae−kt{displaystyle {frac {K-P}{P}}=Ae^{-kt}}

che si può riscrivere:

KP−1=Ae−kt{displaystyle {frac {K}{P}}-1=Ae^{-kt}}

da cui si ricava:

P=K1+Ae−kt{displaystyle P={frac {K}{1+Ae^{-kt}}}}

Quindi la soluzione all'equazione logistica è:

P(t)=K1+Ae−kt{displaystyle Pleft(tright)={frac {K}{1+Ae^{-kt}}}}

Per trovare A{displaystyle A}, sia t=0{displaystyle t=0} e P(0)=P0{displaystyle Pleft(0right)=P_{0}}. Si ha:

P0=K1+Ae0{displaystyle P_{0}={frac {K}{1+Ae^{0}}}}

Notando che e0=1{displaystyle e^{0}=1}, risolvendo per A{displaystyle A} si ha:

A=K−P0P0{displaystyle A={frac {K-P_{0}}{P_{0}}}}

Equazioni alle derivate parziali |

Il metodo è utilizzato per affrontare un grande numero di equazioni differenziali alle derivate parziali, come l'equazione delle onde, l'equazione del calore, l'equazione di Laplace o l'equazione di Helmholtz.

Caso omogeneo |

Data l'equazione del calore in una dimensione:

∂u∂t−α∂2u∂x2=0{displaystyle {frac {partial u}{partial t}}-alpha {frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}}=0}

con condizione al contorno:

u|x=0=u|x=L=0{displaystyle u{big |}_{x=0}=u{big |}_{x=L}=0}

si cerca di trovare una soluzione u{displaystyle u} non identicamente nulla che soddisfa le condizioni al contorno e tale che sia un prodotto in cui la dipendenza da x{displaystyle x} e t{displaystyle t} è separata, ovvero:

u(x,t)=X(x)T(t){displaystyle u(x,t)=X(x)T(t)}

Sostituendo u{displaystyle u} nell'equazione e usando la regola del prodotto:

T′(t)αT(t)=X″(x)X(x){displaystyle {frac {T'(t)}{alpha T(t)}}={frac {X''(x)}{X(x)}}}

Dato che il membro alla destra dipende solo da x{displaystyle x} e quello alla sinistra solo da t{displaystyle t}, entrambi sono uguali ad una qualche costante −λ{displaystyle -lambda }:

T′(t)=−λαT(t)X″(x)=−λX(x){displaystyle T'(t)=-lambda alpha T(t)qquad X''(x)=-lambda X(x)}

dove −λ{displaystyle -lambda } è autovalore di entrambi gli operatori differenziali, con T(t){displaystyle T(t)} e X(x){displaystyle X(x)} le rispettive autofunzioni.

Per mostrare che non vi sono soluzioni per λ≤0{displaystyle lambda leq 0}, si osserva inizialmente che per λ<0{displaystyle lambda <0} esistono due numeri reali B{displaystyle B} e C{displaystyle C} tali che:

X(x)=Be−λx+Ce−−λx{displaystyle X(x)=Be^{{sqrt {-lambda }},x}+Ce^{-{sqrt {-lambda }},x}}

Utilizzando le condizioni al contorno si ha che X(0)=0=X(L){displaystyle X(0)=0=X(L)}, da cui si ha B=0=C{displaystyle B=0=C}, che implica che u{displaystyle u} è nulla. Supponendo λ=0{displaystyle lambda =0}, del resto, in tal caso esistono due numeri reali B{displaystyle B} e C{displaystyle C} tali che:

X(x)=Bx+C{displaystyle X(x)=Bx+C}

Dal fatto che X(0)=0=X(L){displaystyle X(0)=0=X(L)} si conclude in modo analogo che u{displaystyle u} è nulla. Quindi, deve essere λ>0{displaystyle lambda >0}, ed esistono A{displaystyle A}, B{displaystyle B} e C{displaystyle C} tali che:

T(t)=Ae−λαtX(x)=Bsin⁡(λx)+Ccos⁡(λx){displaystyle T(t)=Ae^{-lambda alpha t}qquad X(x)=Bsin({sqrt {lambda }},x)+Ccos({sqrt {lambda }},x)}

Sfruttando nuovamente X(0)=0=X(L){displaystyle X(0)=0=X(L)}, si ha C=0{displaystyle C=0} e che per qualche intero positivo n{displaystyle n} si verifica:

λ=nπL{displaystyle {sqrt {lambda }}=n{frac {pi }{L}}}

Questo risolve l'equazione nel caso in cui la dipendenza di u{displaystyle u} ha la forma u(x,t)=X(x)T(t){displaystyle u(x,t)=X(x)T(t)}. In generale, la somma di soluzioni all'equazione del calore che soddisfano le condizioni al contorno sono soluzioni che soddisfano anche questo caso particolare, e quindi una soluzione completa è data da:

u(x,t)=∑n=1∞Dnsin⁡nπxLexp⁡(−n2π2αtL2){displaystyle u(x,t)=sum _{n=1}^{infty }D_{n}sin {frac {npi x}{L}}exp left(-{frac {n^{2}pi ^{2}alpha t}{L^{2}}}right)}

dove Dn{displaystyle D_{n}} sono coefficienti determinati dalla condizione iniziale.

Se la condizione iniziale è:

u|t=0=f(x){displaystyle u{big |}_{t=0}=f(x)}

si ottiene:

f(x)=∑n=1∞Dnsin⁡nπxL{displaystyle f(x)=sum _{n=1}^{infty }D_{n}sin {frac {npi x}{L}}}

che è l'espansione in serie di seni di f(x){displaystyle f(x)}. Moltiplicando ambo i membri per sin⁡(nπx/L){displaystyle sin(npi x/L)} e integrando nell'intervallo [0,L]{displaystyle [0,L]} si ha:

Dn=2L∫0Lf(x)sin⁡nπxLdx{displaystyle D_{n}={frac {2}{L}}int _{0}^{L}f(x)sin {frac {npi x}{L}},dx}

Questo metodo richiede che le autofunzioni di x{displaystyle x}, che in tal caso sono:

{sin⁡nπxL}n=1∞{displaystyle left{sin {frac {npi x}{L}}right}_{n=1}^{infty }}

siano ortogonali e siano una base completa. Ciò è garantito in generale dalla teoria di Sturm-Liouville.

Caso non omogeneo |

Si consideri l'equazione non omogenea:

∂u∂t−α∂2u∂x2=h(x,t){displaystyle {frac {partial u}{partial t}}-alpha {frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}}=h(x,t)}

con le medesime condizioni iniziali di quella omogenea. Le funzioni h(x,t){displaystyle h(x,t)}, u(x,t){displaystyle u(x,t)} e f(x,t){displaystyle f(x,t)} possono essere espanse in serie di seni:

h(x,t)=∑n=1∞hn(t)sin⁡nπxL{displaystyle h(x,t)=sum _{n=1}^{infty }h_{n}(t)sin {frac {npi x}{L}}}

u(x,t)=∑n=1∞un(t)sin⁡nπxL{displaystyle u(x,t)=sum _{n=1}^{infty }u_{n}(t)sin {frac {npi x}{L}}}

f(x)=∑n=1∞bnsin⁡nπxL{displaystyle f(x)=sum _{n=1}^{infty }b_{n}sin {frac {npi x}{L}}}

dove hn(t){displaystyle h_{n}(t)} e bn{displaystyle b_{n}} possono essere calcolati per integrazione, mentre un(t){displaystyle u_{n}(t)} deve essere determinato. Sostituendo le espansioni di hn(t){displaystyle h_{n}(t)} e un(t){displaystyle u_{n}(t)} nell'equazione non omogenea e considerando l'ortogonalità delle funzioni seno si ottiene:

un′(t)+αn2π2L2un(t)=hn(t){displaystyle u'_{n}(t)+alpha {frac {n^{2}pi ^{2}}{L^{2}}}u_{n}(t)=h_{n}(t)}

che è una successione di equazioni differenziali lineari che possono essere risolte facilmente con alcuni metodi quali il fattore di integrazione o la trasformata di Laplace. Alla fine si ottiene:

un(t)=e−αn2π2L2t(bn+∫0thn(s)eαn2π2L2sds){displaystyle u_{n}(t)=e^{-alpha {frac {n^{2}pi ^{2}}{L^{2}}}t}left(b_{n}+int _{0}^{t}h_{n}(s)e^{alpha {frac {n^{2}pi ^{2}}{L^{2}}}s},dsright)}

Il metodo può essere utilizzato anche per coordinate curvilinee ortogonali, anche se con alcune differenze rispetto alle coordinate cartesiane.

Bibliografia |

• (EN) A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9.


• (EN) Tyn Myint-U, Lokenath Debnath, Linear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Boston, MA, 2007, ISBN 978-0-8176-4393-5. URL consultato il 29 marzo 2011.


• (EN) Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Graduate Studies in Mathematics, vol. 140, Providence, RI, American Mathematical Society, 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0.

Voci correlate |

• Equazione differenziale alle derivate parziali


• Equazione differenziale ordinaria


• Equazione logistica


• Metodi di soluzione analitica per equazioni differenziali ordinarie

Collegamenti esterni |

• (EN) A.P. Soldatov, Fourier method, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.


• (EN) Eric W. Weisstein, Separation of variables, in MathWorld, Wolfram Research.


• (EN) Methods of Generalized and Functional Separation of Variables at EqWorld: The World of Mathematical Equations


• (EN) Examples of separating variables to solve PDEs


• (EN) "A Short Justification of Separation of Variables" (PDF), su math-cs.gordon.edu.

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