Momento angolare




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Esempio di funzionamento del momento angolare


Il momento angolare (dal latino "momentum", movimento), o momento polare o momento della quantità di moto o impulso angolare è una grandezza fisica di tipo vettoriale che rappresenta la quantità che si conserva se un sistema fisico è invariante sotto rotazioni spaziali; costituisce l'equivalente per le rotazioni della quantità di moto per le traslazioni.


Nella meccanica newtoniana il momento angolare L→{displaystyle {vec {L}}}{vec L} rispetto a un polo Ω{displaystyle Omega }Omega di un punto materiale è definito come il prodotto vettoriale del vettore distanza r→{displaystyle {vec {r}}}{vec r} (del punto da Ω{displaystyle Omega }Omega) e del vettore quantità di moto p→{displaystyle {vec {p}}}vec p. Omettendo la dipendenza dal polo:


L→=r→×p→=r→×mv→{displaystyle {vec {L}}={vec {r}}times {vec {p}}={vec {r}}times m{vec {v}}}{displaystyle {vec {L}}={vec {r}}times {vec {p}}={vec {r}}times m{vec {v}}}

Per sistemi discreti il momento angolare totale è definito dalla somma dei singoli momenti angolari:


L→=∑iL→i=∑imir→i×v→i{displaystyle {vec {L}}=sum _{i}{vec {L}}_{i}=sum _{i}m_{i}{vec {r}}_{i}times {vec {v}}_{i}}{displaystyle {vec {L}}=sum _{i}{vec {L}}_{i}=sum _{i}m_{i}{vec {r}}_{i}times {vec {v}}_{i}}

Nei sistemi continui si estende in modo naturale la definizione introducendo la densità ρ{displaystyle rho }rho e il campo di velocità v→(r→){displaystyle {vec {v}}({vec {r}})}{vec v}({vec r}):


L→=∫Vρr→×v→dV{displaystyle {vec {L}}=int _{V}rho ,{vec {r}}times {vec {v}}mathop {} !mathrm {d} V}{displaystyle {vec {L}}=int _{V}rho ,{vec {r}}times {vec {v}}mathop {} !mathrm {d} V}

il cui valore scalare, in caso di moto circolare uniforme, può essere espresso anche come il semplice prodotto di momento di inerzia I e velocità angolare ω:



L=Iω{displaystyle L=Iomega }{displaystyle L=Iomega }



Più in generale, nelle formulazioni della meccanica discendenti da un principio variazionale, il momento angolare è definito in termini del teorema di Noether come la quantità conservata risultante dall'invarianza dell'azione rispetto alle rotazioni tridimensionali. Questa formulazione è più adatta per estendere il concetto di momento angolare ad altri enti, quali ad esempio il campo elettromagnetico.




Indice






  • 1 Momento angolare in meccanica classica


    • 1.1 Equazioni del moto


    • 1.2 Momento angolare semplificato utilizzando il centro di massa




  • 2 Conservazione del momento angolare ed esempi


  • 3 Momento della forza


  • 4 Bibliografia


  • 5 Voci correlate


  • 6 Altri progetti


  • 7 Collegamenti esterni





Momento angolare in meccanica classica |




Momento angolare (L→{displaystyle {vec {L}}}{displaystyle {vec {L}}}) di un punto materiale di massa m{displaystyle m}m. Nell'immagine sono indicati il vettore posizione (r→{displaystyle {vec {r}}}{vec r}) e la velocità (v→{displaystyle {vec {v}}}vec v)


Come già detto, in meccanica classica il momento angolare L→{displaystyle {vec {L}}}{vec L} è definito come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione r¯{displaystyle {bar {r}}}{bar r} (rispetto alla stessa origine) e il vettore quantità di moto p→{displaystyle {vec {p}}}vec p:


L→=r→×p→=r→×mv→{displaystyle {vec {L}}={vec {r}}times {vec {p}}={vec {r}}times m{vec {v}}}{displaystyle {vec {L}}={vec {r}}times {vec {p}}={vec {r}}times m{vec {v}}}

Il modulo di L→{displaystyle {vec {L}}}{vec L} è quindi definito da:


‖L→‖=rmvsin⁡θ{displaystyle |{vec {L}}|={{r}{mv}}sin {theta },}|{vec L}|={{r}{mv}}sin {theta },

La direzione di L¯{displaystyle {bar {L}}}{bar L} è perpendicolare al piano definito da p→{displaystyle {vec {p}}}vec p e da r¯{displaystyle {bar {r}}}{bar r}; il verso è quello di un osservatore che vede ruotare p→{displaystyle {vec {p}}}vec p in senso antiorario. La grandezza rsin⁡θ{displaystyle {r}sin {theta }}{r}sin {theta }, distanza dell'asse di rotazione dalla retta su cui giace p→{displaystyle {vec {p}}}vec p è detto braccio di p→{displaystyle {vec {p}}}vec p.


Se p→{displaystyle {vec {p}}}vec p e r→{displaystyle {vec {r}}}{vec r} sono tra loro perpendicolari il momento angolare è massimo e questo avviene quando sin⁡θ=1{displaystyle sin theta =1}sin theta =1. Il momento angolare è nullo invece se la quantità di moto o il braccio sono nulli, oppure se p→{displaystyle {vec {p}}}vec p è parallelo ad r→{displaystyle {vec {r}}}{vec r}, in tal caso infatti sin⁡θ=0{displaystyle sin theta =0}sin theta =0.


Si definisce momento angolare assiale il momento angolare proiettato su un asse passante per il polo.


Il momento angolare nel SI si misura in kg·m²/s. Questa unità di misura coincide con la grandezza di un'azione (ovvero di un'energia per un tempo), anche se i significati di azione e momento angolare sono differenti. Poiché il prodotto di due variabili coniugate (ad esempio posizione e impulso) deve essere un'azione, questo ci dice che la variabile coniugata al momento angolare deve essere adimensionale (è infatti l'angolo di rotazione attorno al polo).



Equazioni del moto |


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Magnifying glass icon mgx2.svg
Lo stesso argomento in dettaglio: Equazioni cardinali dei sistemi.


Relazione tra forza (F), momento meccanico (τ), quantità di moto (p) e momento angolare (L) in un sistema rotante.


Per quanto riguarda la dinamica dei sistemi di punti materiali, il momento angolare è una caratteristica fondamentale del moto. Infatti se un punto materiale P si muove con quantità di moto: p→=mv→{displaystyle {vec {p}}=m{vec {v}}}{displaystyle {vec {p}}=m{vec {v}}}, il momento angolare del punto rispetto a un polo O è dato da:


L→=r→(t)×p→(t){displaystyle {vec {L}}={vec {r}}_{(t)}times {vec {p}}_{(t)}}{displaystyle {vec {L}}={vec {r}}_{(t)}times {vec {p}}_{(t)}}

se il polo O è in moto con velocità v→O{displaystyle {vec {v}}_{O}}{vec v}_{O}, allora il momento angolare varia nel tempo:


dL→dt=ddt(r→(t)×p→(t))=dr→dt×p→+r→×dp→dt{displaystyle {begin{aligned}{frac {mathrm {d} {vec {L}}}{mathrm {d} t}}&={frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}left({vec {r}}_{(t)}times {vec {p}}_{(t)}right)\&={frac {mathrm {d} {vec {r}}}{mathrm {d} t}}times {vec {p}}+{vec {r}}times {frac {mathrm {d} {vec {p}}}{mathrm {d} t}}\end{aligned}}}{displaystyle {begin{aligned}{frac {mathrm {d} {vec {L}}}{mathrm {d} t}}&={frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}left({vec {r}}_{(t)}times {vec {p}}_{(t)}right)\&={frac {mathrm {d} {vec {r}}}{mathrm {d} t}}times {vec {p}}+{vec {r}}times {frac {mathrm {d} {vec {p}}}{mathrm {d} t}}\end{aligned}}}

dove




  • dr→dt{displaystyle {frac {mathrm {d} {vec {r}}}{mathrm {d} t}}}{displaystyle {frac {mathrm {d} {vec {r}}}{mathrm {d} t}}} rappresenta la velocità relativa del punto P rispetto alla velocità di O


  • dp→dt{displaystyle {frac {mathrm {d} {vec {p}}}{mathrm {d} t}}}{displaystyle {frac {mathrm {d} {vec {p}}}{mathrm {d} t}}} per il secondo principio della dinamica rappresenta la forza totale risultante.


Allora da questa equazione si ottiene la seconda equazione cardinale dei sistemi, infatti dalla


dL→dt=(v→−v→O)×p→+r→×F→=v→×p→−v→O×p→+M→O{displaystyle {begin{aligned}{frac {mathrm {d} {vec {L}}}{mathrm {d} t}}&=({vec {v}}-{vec {v}}_{O})times {vec {p}}+{vec {r}}times {vec {F}}\&={vec {v}}times {vec {p}}-{vec {v}}_{O}times {vec {p}}+{vec {M}}_{O}\end{aligned}}}{displaystyle {begin{aligned}{frac {mathrm {d} {vec {L}}}{mathrm {d} t}}&=({vec {v}}-{vec {v}}_{O})times {vec {p}}+{vec {r}}times {vec {F}}\&={vec {v}}times {vec {p}}-{vec {v}}_{O}times {vec {p}}+{vec {M}}_{O}\end{aligned}}}

essendo v→{displaystyle {vec {v}}}vec{v} e p→{displaystyle {vec {p}}}{displaystyle {vec {p}}} paralleli, il loro prodotto vettoriale è nullo, dunque si ottiene:


M→O=dL→dt+v→O×p→{displaystyle {vec {M}}_{O}={frac {mathrm {d} {vec {L}}}{mathrm {d} t}}+{vec {v}}_{O}times {vec {p}}}{displaystyle {vec {M}}_{O}={frac {mathrm {d} {vec {L}}}{mathrm {d} t}}+{vec {v}}_{O}times {vec {p}}}

dove M→O=r→×F→{displaystyle {vec {M}}_{O}={vec {r}}times {vec {F}}}{vec M}_{O}={vec r}times {vec F} è il momento meccanico polare.


Nei casi in cui:



  • il polo sia fermo

  • il polo coincida con il centro di massa

  • il polo si muova parallelamente alla traiettoria del centro di massa


allora ci si riconduce alla più familiare:


M→=dL→dt{displaystyle {vec {M}}={frac {mathrm {d} {vec {L}}}{mathrm {d} t}}}{displaystyle {vec {M}}={frac {mathrm {d} {vec {L}}}{mathrm {d} t}}}


Momento angolare semplificato utilizzando il centro di massa |


Spesso è conveniente considerare il momento angolare di un sistema discreto rispetto al proprio centro di massa, perché i calcoli ne risultano notevolmente semplificati. Il momento angolare di un insieme di punti materiali è la somma del momento angolare di ciascun punto:


L=∑i(ri×mivi){displaystyle mathbf {L} =sum _{i}(mathbf {r} _{i}times m_{i}mathbf {v} _{i})}{mathbf {L}}=sum _{i}({mathbf {r}}_{i}times m_{i}{mathbf {v}}_{i})

dove ri è il vettore posizione del punto i rispetto all'origine, mi è la sua massa, e vi è la sua velocità lineare. Il centro di massa è definito da:


R=1M∑imiri{displaystyle mathbf {R} ={frac {1}{M}}sum _{i}m_{i}mathbf {r} _{i}}{mathbf {R}}={frac {1}{M}}sum _{i}m_{i}{mathbf {r}}_{i}

dove la massa totale di tutte le particelle è data da


M=∑imi.{displaystyle M=sum _{i}m_{i}.,}M=sum _{i}m_{i}.,

Ne consegue che la velocità lineare del centro di massa è


V=1M∑imivi.{displaystyle mathbf {V} ={frac {1}{M}}sum _{i}m_{i}mathbf {v} _{i}.,}{mathbf {V}}={frac {1}{M}}sum _{i}m_{i}{mathbf {v}}_{i}.,

Se si definiscono Ri il vettore posizione della particella i, e Vi la sua velocità rispetto al centro di massa, si ha



ri=R+Ri{displaystyle mathbf {r} _{i}=mathbf {R} +mathbf {R} _{i},}{mathbf {r}}_{i}={mathbf {R}}+{mathbf {R}}_{i},   e    vi=V+Vi{displaystyle mathbf {v} _{i}=mathbf {V} +mathbf {V} _{i},}{mathbf {v}}_{i}={mathbf {V}}+{mathbf {V}}_{i},

si può vedere che



∑imiRi=0{displaystyle sum _{i}m_{i}mathbf {R} _{i}=0,}sum _{i}m_{i}{mathbf {R}}_{i}=0,   e    ∑imiVi=0{displaystyle sum _{i}m_{i}mathbf {V} _{i}=0,}sum _{i}m_{i}{mathbf {V}}_{i}=0,

cosicché il momento angolare totale rispetto all'origine è


L=∑iri×mivi=(R×MV)+∑i(Ri×miVi).{displaystyle mathbf {L} =sum _{i}mathbf {r} _{i}times m_{i}mathbf {v} _{i}=left(mathbf {R} times Mmathbf {V} right)+sum _{i}(mathbf {R} _{i}times m_{i}mathbf {V} _{i}).}{mathbf {L}}=sum _{i}{mathbf {r}}_{i}times m_{i}{mathbf {v}}_{i}=left({mathbf {R}}times M{mathbf {V}}right)+sum _{i}({mathbf {R}}_{i}times m_{i}{mathbf {V}}_{i}).

Il primo termine è semplicemente il momento angolare del centro di massa. È il medesimo momento angolare che si otterrebbe se ci fosse una sola particella di massa M, posta nel centro di massa, che si muove con velocità v . Il secondo termine è il momento angolare delle particelle relativamente al proprio centro di massa. Esso può essere ulteriormente semplificato se le particelle formano un corpo rigido, nel qual caso è il prodotto del momento di inerzia e della velocità angolare del moto rotatorio. Lo stesso risultato si ottiene se al sistema di punti materiali discreti esaminato sopra si sostituisce una distribuzione continua di massa.



Conservazione del momento angolare ed esempi |


Il momento angolare è importante in tutti i moti dipendenti da variazioni che riguardano variabili angolari.


Inoltre resta fondamentale perché nei sistemi non soggetti a momenti di forze esterne, vale la legge di conservazione del momento angolare. La conservazione del momento angolare è fondamentale nello studio dei moti in campi di forze centrali, poiché è legata alla costanza della velocità areolare, come nello studio dei moti dei pianeti e dalle leggi di Keplero, e ancora allo studio del moto del pendolo.






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Lo stesso argomento in dettaglio: Urto fra corpi rigidi.


Momento della forza |


Il momento di una forza è definito come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione del punto di applicazione della forza, e la forza stessa. Il suo modulo risulta quindi uguale al modulo della forza per il braccio. Si può dimostrare che la derivata rispetto al tempo del momento angolare è uguale al momento delle forze applicate, cosicché se quest'ultimo momento è nullo allora il momento angolare si conserva.



Bibliografia |


  • David Halliday, Robert Resnick, Fundamentals of Physics, John Wiley & Sons, 1960-2007, Chapter 10.


Voci correlate |



  • Momento meccanico

  • Momento angolare orbitale

  • Vettore momento angolare orbitale

  • Primo teorema di König



Altri progetti |



Altri progetti


  • Wikimedia Commons



  • Collabora a Wikimedia CommonsWikimedia Commons contiene immagini o altri file su momento angolare


Collegamenti esterni |






  • Momento angolare, su thes.bncf.firenze.sbn.it, Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze. Modifica su Wikidata


  • (EN) Momento angolare, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc. Modifica su Wikidata


  • Momento angolare su Treccani.it, novembre 2013


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