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In geometria, lo spazio proiettivo è lo spazio ottenuto da uno spazio euclideo (ad esempio, la retta o il piano) aggiungendo i "punti all'infinito". A seconda della dimensione, si parla quindi di retta proiettiva, piano proiettivo, ecc.

Lo spazio proiettivo è stato introdotto nel XVI secolo per modellizzare lo spazio visto dall'occhio umano, negli studi sulla prospettiva. Dal punto di vista geometrico, è uno spazio che presenta numerosi vantaggi rispetto a quello euclideo o affine: nello spazio proiettivo ci sono meno "casi particolari" da considerare (ad esempio, nel piano due rette si intersecano sempre), e molti concetti profondi vengono espressi in modo più sintetico ed elegante.

Definizioni |

Punti all'infinito |

Sia Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} lo spazio euclideo n{displaystyle n}-dimensionale. Ad esempio, per n=2{displaystyle n=2} questo è semplicemente il piano cartesiano. Un "punto all'infinito" è la direzione indicata da una retta nello spazio, e da tutte le rette parallele ad essa. Quindi due rette definiscono lo stesso punto all'infinito se e solo se sono parallele.

Lo spazio proiettivo n{displaystyle n}-dimensionale è l'unione di Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} e di tutti i suoi "punti all'infinito".

A questo punto si possono estendere allo spazio proiettivo molti concetti geometrici usuali. Ne risulterà, ad esempio, che due rette di uno stesso piano si intersecano sempre: se hanno la stessa direzione (cioè erano parallele prima dell'ampliamento), il loro punto di intersezione è quello all'infinito.

Rette passanti per l'origine |

Lo spazio proiettivo è lo spazio visto da un occhio.

Una definizione come quella appena data ha però il difetto di trattare i punti all'infinito come "punti speciali", mentre la filosofia della geometria proiettiva è quella di non distinguere questi punti dagli altri in nessun modo. In effetti si può parlare sia di ampliamento proiettivo di uno spazio affine (si ottiene lo spazio proiettivo aggiungendo i punti all'infinito), oppure più facilmente si usa la seguente definizione.

Lo spazio proiettivo n{displaystyle n}-dimensionale è definito come l'insieme delle rette in Rn+1{displaystyle mathbb {R} ^{n+1}} passanti per l'origine.

Intuitivamente, è lo spazio che vede un occhio posizionato nell'origine. Questa definizione descrive chiaramente le relazioni con la prospettiva.

Campo arbitrario |

Le definizioni appena date possono essere estese al caso in cui lo spazio di partenza sia uno spazio vettoriale su un campo K{displaystyle K} arbitrario, come ad esempio quello dei numeri reali o complessi. Questa estensione è utile, perché molti teoremi di geometria proiettiva sono più potenti ed eleganti se il campo base è algebricamente chiuso come i complessi.

Lo spazio proiettivo n{displaystyle n}-dimensionale su K{displaystyle K} è definito come l'insieme delle rette passanti per l'origine in Kn+1{displaystyle K^{n+1}}. Cioè,

Pn(K)=Kn+1∖{0}∼{displaystyle mathbb {P} ^{n}(K)={frac {K^{n+1}setminus {0}}{sim }}}

dove ∼{displaystyle sim } è la relazione d'equivalenza che identifica due punti se e solo se stanno sulla stessa retta passante per l'origine, cioè se e solo se sono multipli:

v∼w⟺v=kw{displaystyle vsim wLongleftrightarrow v=kw} per qualche k∈K,k≠0{displaystyle kin K,kneq 0}.

Ad esempio, (1,2,−3){displaystyle (1,2,-3)} e (−2,−4,6){displaystyle (-2,-4,6)} sono multipli e danno quindi luogo allo stesso punto.

Nel resto di questa voce lo spazio proiettivo è supposto definito in questo modo, dipendente da un campo K{displaystyle K}.

Invarianti |

Le omografie sono il gruppo fondamentale della geometria proiettiva.^[1]

Sono proprietà proiettive:

• essere sottospazi lineari aventi una certa dimensione,


• le proprietà di incidenza,


• il birapporto di quattro punti.

L'assoluto è il cerchio immaginario all'infinito, in coordinate omogenee x12+x22+x32=0,x4=0{displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0,x_{4}=0}, cioè il luogo dei punti ciclici per cui passano tutte e sole le sfere (superfici quadriche sferiche) dello spazio proiettivo.^[1]

Sottospazi |

Definizione |

Poiché uno spazio proiettivo è l'immagine di uno spazio vettoriale tramite la proiezione

p:Kn+1→Pn(K){displaystyle p:K^{n+1}to mathbb {P} ^{n}(K)}

indotta dalla relazione di equivalenza, molte nozioni degli spazi vettoriali si trasferiscono senza problemi sullo spazio proiettivo.

Un sottospazio proiettivo di Pn(K){displaystyle mathbb {P} ^{n}(K)} è definito come l'immagine p(W){displaystyle p(W)} di un sottospazio vettoriale W{displaystyle W} di Kn+1{displaystyle K^{n+1}} tramite p{displaystyle p}.

La dimensione del sottospazio proiettivo p(W){displaystyle p(W)} è definita come

dim⁡p(W)=dim⁡W−1.{displaystyle dim p(W)=dim W-1.}

In geometria, la codimensione di un sottospazio è generalmente definita come la dimensione dello spazio che lo contiene meno quella del sottospazio: ne segue che W{displaystyle W} e p(W){displaystyle p(W)} hanno la stessa codimensione

codimW=n+1−dim⁡W=n−dim⁡p(W)=codimp(W).{displaystyle {rm {codim,}}W=n+1-dim W=n-dim p(W)={rm {codim,}}p(W).}

Un iperpiano proiettivo è un sottospazio di codimensione uno.

Dati due sottospazi S{displaystyle S} e T{displaystyle T}, è possibile definire i sottospazi intersezione e somma in modo analogo, come immagini tramite p{displaystyle p} dei sottospazi intersezione e somma in Kn+1{displaystyle K^{n+1}}.

Formula di Grassmann |

Una delle proprietà basilari valide in uno spazio proiettivo, ereditata dagli spazi vettoriali, ma che non è valida in uno spazio affine, è la formula di Grassmann per i sottospazi. Dati due sottospazi S{displaystyle S} e T{displaystyle T}, vale cioè l'uguaglianza

dim⁡(S+T)=dim⁡S+dim⁡T−dim⁡(S∩T){displaystyle dim(S+T)=dim S+dim T-dim(Scap T)}

dove si intende che il punto ha dimensione 0 (come sempre) e l'insieme vuoto ha dimensione −1{displaystyle -1}.

Rette parallele |

Come conseguenza della formula di Grassmann, due rette nel piano si intersecano sempre. Infatti

dim⁡(S∩T)=dim⁡S+dim⁡T−dim⁡(S+T)=1+1−dim⁡(S+T)≥0{displaystyle dim(Scap T)=dim S+dim T-dim(S+T)=1+1-dim(S+T)geq 0}

poiché S+T{displaystyle S+T} ha dimensione al più 2 (ogni sottospazio del piano ha dimensione al massimo 2, e 2 solo se è tutto il piano).

Coordinate omogenee e carte affini |

Coordinate omogenee |

Lo stesso argomento in dettaglio: coordinate omogenee.

Ogni punto dello spazio proiettivo è una classe di equivalenza di punti in Kn+1{displaystyle K^{n+1}}. Come è usuale in matematica, una classe di equivalenza viene descritta tra parentesi quadre: in questo modo,

[(x0,…,xn)]{displaystyle [(x_{0},ldots ,x_{n})]}

definisce la classe a cui appartiene il vettore (x0,…,xn){displaystyle (x_{0},ldots ,x_{n})}. Per brevità, tale classe si indica con

[x0,…,xn].{displaystyle [x_{0},ldots ,x_{n}].}

Questa espressione fra parentesi quadre definisce le coordinate omogenee del punto. Due vettori di coordinate determinano la stessa classe (cioè lo stesso punto)

[x0,…,xn]=[y0,…,yn]{displaystyle [x_{0},ldots ,x_{n}]=[y_{0},ldots ,y_{n}]}

se e solo se sono uno multipli dell'altro, cioè se esiste un k{displaystyle k} in K{displaystyle K} tale che yi=kxi{displaystyle y_{i}=kx_{i}} per ogni i{displaystyle i}.

Punti impropri |

Con le coordinate omogenee è possibile recuperare la definizione originaria di spazio proiettivo come spazio affine a cui si aggiungono dei punti. Basta definire E{displaystyle E} come il sottoinsieme formato dai punti [x0,…,xn]{displaystyle [x_{0},ldots ,x_{n}]} tali che x0≠0{displaystyle x_{0}neq 0}. Ogni punto in E{displaystyle E} si scrive come

[1,x1,…,xn]{displaystyle [1,x_{1},ldots ,x_{n}]}

in modo univoco, e quindi tramite la funzione

[1,x1,…,xn]↦(x1,…,xn){displaystyle [1,x_{1},ldots ,x_{n}]mapsto (x_{1},ldots ,x_{n})}

definiamo una corrispondenza biunivoca tra E{displaystyle E} e lo spazio affine Kn{displaystyle K^{n}}. I punti dello spazio proiettivo che non sono in E{displaystyle E} hanno in questo contesto il ruolo dei "punti all'infinito". Ciascuno di questi punti è del tipo

[0,x1,…,xn]{displaystyle [0,x_{1},ldots ,x_{n}]}

e la funzione

[0,x1,…,xn]↦[x1,…,xn]{displaystyle [0,x_{1},ldots ,x_{n}]mapsto [x_{1},ldots ,x_{n}]}

definisce una corrispondenza biunivoca tra i punti all'infinito e lo spazio proiettivo Pn−1(K){displaystyle mathbb {P} ^{n-1}(K)} di dimensione più piccola di uno. Quindi i "punti all'infinito" ad esempio del piano proiettivo formano una retta proiettiva, detta 'retta all'infinito o retta impropria. In dimensione arbitraria, si parla di iperpiano improprio.

Carte e atlante |

La stessa descrizione è fattibile per ogni i=0,…,n{displaystyle i=0,ldots ,n} definendo Ei{displaystyle E_{i}} come l'insieme dei punti la cui i{displaystyle i}-esima coordinata è non nulla. Per ogni i{displaystyle i} si ottiene quindi un differente iperpiano improprio, e una differente carta affine Ei{displaystyle E_{i}}.

Il nome "carta" deriva dalla proprietà seguente: l'unione degli Ei{displaystyle E_{i}} è tutto lo spazio, quindi le carte "ricoprono" tutto lo spazio proiettivo, mentre ciascuna di esse ne descrive solo una parte, proprio come le carte geografiche.

Agli Ei{displaystyle E_{i}} possono essere associate le mappe fi:Ei{displaystyle f_{i}:E_{i}} --> Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} , che rendono Pn+1{displaystyle mathbb {P} ^{n+1}} una varietà differenziabile. L'insieme delle coppie

{(E0,f0),…,(En,fn)}{displaystyle {(E_{0},f_{0}),ldots ,(E_{n},f_{n})}}

è detto atlante affine.

Le mappe fi{displaystyle f_{i}} sono, banalmente, le affinizzazioni degli Ei{displaystyle E_{i}}: ad esempio, il punto (x0:x1:...:xn+1)∈E0{displaystyle (x_{0}:x_{1}:...:x_{n+1})in E_{0}}, viene mandato tramite f0{displaystyle f_{0}} in (x1/x0,x2/x0,...,xn+1/x0)∈Rn{displaystyle (x_{1}/x_{0},x_{2}/x_{0},...,x_{n+1}/x_{0})in mathbb {R} ^{n}}

Definizione più astratta |

Lo spazio proiettivo può essere definito in modo analogo a partire da un qualsiasi spazio vettoriale V{displaystyle V} su un campo K{displaystyle K}:

Lo spazio proiettivo associato a V{displaystyle V} è definito come l'insieme delle rette passanti per l'origine in V{displaystyle V}. Cioè,

P(V)=V∖{0}∼{displaystyle mathbb {P} (V)={frac {Vsetminus {0}}{sim }}}

dove

v∼w⟺v=kw{displaystyle vsim wLongleftrightarrow v=kw} per qualche k∈K,k≠0{displaystyle kin K,kneq 0}.

In questo contesto, la definizione data precedentemente corrisponde al caso in cui V=Kn{displaystyle V=K^{n}}. In generale, lo spazio V{displaystyle V} può avere anche dimensione infinita.

Esiste uno strumento simile alle basi che permette di assegnare ad ogni punto di P(V){displaystyle mathbb {P} (V)} delle coordinate omogenee, nel caso in cui V{displaystyle V} abbia dimensione finita n{displaystyle n}. Come per gli spazi vettoriali, non esiste un modo univoco di assegnare tali coordinate: queste dipendono dalla scelta di un riferimento proiettivo, l'analogo proiettivo delle basi.

Note |

Voci correlate |

• Geometria proiettiva


• Coordinate omogenee


• Retta proiettiva


• Piano proiettivo


• prospettiva (arte)


• Sfera di Riemann


• Grassmanniana

Collegamenti esterni |

• 
  


• 
  Spazio proiettivo, su thes.bncf.firenze.sbn.it, Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze.
  

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