Gfrktyl

Теорема Римана об отображении (в комплексном анализе именуемая просто теоремой Римана) — важнейший факт 2-мерной конформной геометрии и одномерного комплексного анализа.

Пусть U{displaystyle U} — область на расширенной комплексной плоскости, являющаяся односвязной, причём её граница содержит более одной точки. Тогда существует голоморфная функция f{displaystyle f} на единичном круге Δ={z∈C:|z|<1}{displaystyle Delta ={zin mathbf {C} :|z|<1}}, отображающая его на U{displaystyle U} взаимно однозначно.

Замечания |

Голоморфная функция, являющаяся взаимно-однозначной (то есть обратимой), является конформным отображением, так что теорему можно формулировать в терминах конформной эквивалентности. Также, не имеет значения, утверждать существование функции f:Δ→U{displaystyle fcolon Delta to U} или обратной, f−1:U→Δ{displaystyle f^{-1}colon Uto Delta }.
Можно даже требовать существования отображения из любой односвязной области в любую другую односвязную — утверждение теоремы от этого не станет сильнее.

Данная теорема кажется парадоксальной, так как условия на область являются чисто топологическими и никак не оговаривают геометрию её границы.
В самом деле, сравнительно легко строятся конформные отображения круга не только на многоугольники и прочие фигуры обладающие углами, но и области наподобие круга с одним вырезанным радиусом и т. д.
При некоторой сноровке даже строится функция на круге, образ которой имеет границу нигде не гладкую.
Впрочем, Риман сумел доказать теорему лишь в предположении кусочной гладкости границы.

Единственность отображения |

Поскольку единичный круг легко нетождественно конформно отобразить на себя, то искомое конформное отображение единственным быть не может.
Однако легко видеть, что весь произвол в построении отображения и относится на счёт автоморфизмов единичного круга, которые образуют вещественную 3-мерную группу Ли.

Обобщения |

Если вместо области на комплексной плоскости рассматривать область на произвольной римановой поверхности, то мы приходим к теореме об униформизации.

Попытки обобщить данную теорему на вещественную конформную геометрию в размерностях выше 2, как и на комплексную геометрию в размерностях выше 1, используя понятие голоморфного отображения, к особым успехам не привели.
Доказано, что и в том и другом случае для эквивалентности областей уже недостаточно чисто топологических условий.
В любом случае, столь общие утверждения об эквивалентности областей во многомерных пространствах науке неизвестны.

Литература |

• 
  Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.