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In matematica una disuguaglianza (o diseguaglianza) è una relazione d'ordine totale sull'insieme dei numeri reali o su un suo sottoinsieme.

Può essere intesa in senso largo o in senso stretto, a seconda che la relazione d'ordine sia riflessiva o meno. Nei due casi vengono utilizzate le coppie di simboli ⩾{displaystyle geqslant } e ⩽{displaystyle leqslant }, oppure >{displaystyle >} e <{displaystyle <}.

Gli stessi simboli possono essere utilizzati per "confrontare" due funzioni a valori reali.

Notazione |

La disuguaglianza in senso largo si indica con le scritture equivalenti a⩾b{displaystyle ageqslant b} e b⩽a{displaystyle bleqslant a}, che si leggono "a è maggiore o uguale a b" e "b è minore o uguale ad a".

La disuguaglianza in senso stretto si indica invece le scritture equivalenti a>b{displaystyle a>b} e b<a{displaystyle b<a}, lette "a è maggiore di b" e "b è minore di a".

Questa notazione può essere confusa con la notazione graficamente simile a ≫ b (o b ≪ a), utilizzata con due diversi significati: sia per indicare che un numero è sufficientemente più grande di un altro ("a è molto maggiore di b"), sia per indicare che una funzione è asintoticamente più grande di un'altra ("a domina b"). In entrambi i casi non è una disuguaglianza, ma solamente una relazione d'ordine parziale, ovvero può non permettere di confrontare tra loro due distinti elementi dell'insieme.

Proprietà |

Ordine totale |

Se la disuguaglianza è stretta:

Ogni coppia di elementi distinti è confrontabile, ovvero:
∀a,b,a≠b{displaystyle forall a,b,aneq b}, si verifica una e una sola relazione tra: a<b{displaystyle a<b} e b<a{displaystyle b<a}.

Se la disuguaglianza è larga:

Ogni coppia di elementi è confrontabile, ovvero:
∀a,b{displaystyle forall a,b} si verifica una relazione tra: a⩽b{textstyle aleqslant b} e b⩽a{displaystyle bleqslant a}.

Antisimmetria e tricotomia |

Se la disuguaglianza è stretta, allora vale la tricotomia:

∀a,b{displaystyle forall a,b} vale una e una sola delle tre relazioni a>b,a<b,a=b{displaystyle a>b,a<b,a=b}.

Se la disuguaglianza è larga, allora vale l'antisimmetria:

∀a,ba⩽beb⩽a⟹a=b{displaystyle forall a,bqquad aleqslant bquad {text{e}}quad bleqslant aimplies a=b}.

Somma e sottrazione |

Le disuguaglianze vengono preservate se ad entrambi i termini viene aggiunto o sottratto uno stesso numero:

• per ogni tre numeri reali a, b e c sono equivalenti: a > b, a + c > b + c, a − c > b − c.

Lo stesso vale con la disuguaglianza in senso largo.

Questa proprietà indica che confrontare due numeri a e b è equivalente a verificare se la loro differenza a-b è positiva o negativa, ovvero a confrontare a-b e 0. Inoltre a>0 equivale a -a<0, così come a>b equivale a -a<-b.

Questa proprietà in generale descrive i gruppi ordinati.

Moltiplicazione e divisione |

Le disuguaglianze vengono preservate se entrambi i termini vengono moltiplicati o divisi per uno stesso numero strettamente positivo. Moltiplicando o dividendo per un numero strettamente negativo, invece, le disuguaglianze si scambiano:

• per ogni terna di numeri reali a, b e c,
  
  
  
  • se c>0 allora sono equivalenti: a>b, ac>bc, a/c>b/c;
  
  
  • se c<0 allora sono equivalenti: a>b, ac<bc, a/c<b/c.
  
  
  
  

Lo stesso vale con la disuguaglianza in senso largo.

Per la precedente proprietà, la seconda riga equivale alla prima, scrivendo -c al posto di c.

Queste proprietà in generale descrivono gli anelli ordinati e i campi ordinati (o campi reali).

Funzioni monotone |

Le disuguaglianze sono alla base della definizione delle funzioni monotòne: le funzioni che conservano o invertono l'ordinamento dei numeri reali, quindi le disuguaglianze, sono funzioni monotone crescenti o decrescenti.
In particolare, le funzioni monotone in senso stretto "mantengono" le disuguaglianze in senso stretto; invece una funzione monotona in senso largo fornisce solamente disuguaglianze in senso largo.

Disequazione |

A volte si abusa della notazione per la disuguaglianza, scrivendo f>0 anche quando f è una funzione a valori reali. Con questa notazione si intende che f assume solo valori strettamente positivi, ovvero che f(x)>0 per ogni x nel dominio di f. Nello stesso modo, f>g indica che f-g>0, ovvero che f(x)>g(x) per ogni x nel comune dominio di f e g. Lo stesso capita con la disuguaglianza in senso largo.

Quando il dominio delle funzioni non viene specificato, si parla di disequazione.

Disuguaglianze comuni |

Alcune "famose" disuguaglianze in matematica sono elencate di seguito.

• disuguaglianza triangolare


• disuguaglianza delle medie


• disuguaglianza di Bernoulli


• disuguaglianza di Bernstein


• disuguaglianza di Bessel


• disuguaglianze di Boole e di Bonferroni


• disuguaglianza di Cantelli


• disuguaglianza di Cauchy-Schwarz


• disuguaglianza di Čebyšëv


• disuguaglianza di Cramér-Rao


• disuguaglianza di Hoeffding


• disuguaglianza di Hölder


• disuguaglianza di Minkowski


• disuguaglianza di Ono


• disuguaglianza di Pedoe


• disuguaglianza di Schur


• disuguaglianza di Weitzenböck

Voci correlate |

• Relazione binaria


• Insieme parzialmente ordinato


• Disequazione

Altri progetti |

• 
  Wikiquote contiene citazioni di o su disuguaglianza
  


• 
  Wikizionario contiene il lemma di dizionario «disuguaglianza»


• 
  Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su disuguaglianza
  

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V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili
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