Gfrktyl

Однородная функция степени q{displaystyle q} — числовая функция f:Rn→R{displaystyle f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} } такая, что для любого v∈Rn{displaystyle mathbf {v} in mathbb {R} ^{n}}из области определения функции f{displaystyle f} и любого λ∈R{displaystyle lambda in mathbb {R} } выполняется равенство:

f(λv)=λqf(v).(∗){displaystyle f(lambda mathbf {v} )=lambda ^{q}f(mathbf {v} ).qquad qquad (*)}

Параметр q{displaystyle q} называется порядком однородности. Подразумевается, что если v∈Rn{displaystyle mathbf {v} in mathbb {R} ^{n}}входит в область определения функции, то все точки вида λv{displaystyle lambda mathbf {v} } тоже входят в область определения функции.

Различают также

• 
  положительно однородные функции, для которых равенство (∗){displaystyle (*)} выполняется только для положительных λ{displaystyle lambda } (λ>0),{displaystyle (lambda >0),}
  


• 
  абсолютно однородные функции для которых выполняется равенство
      f(λv)=|λ|qf(v),{displaystyle f(lambda mathbf {v} )=|lambda |^{q}f(mathbf {v} ),}
  


• 
  ограниченно однородные функции, для которых равенство (∗){displaystyle (*)} выполняется только для некоторых выделенных значений λ,{displaystyle lambda ,}
  


• 
  комплексные однородные функции f:Cn→C{displaystyle f:mathbb {C} ^{n}to mathbb {C} } для которых равенство (∗){displaystyle (*)} справедливо при v∈Cn{displaystyle mathbf {v} in mathbb {C} ^{n}} и λ∈R{displaystyle lambda in mathbb {R} } или λ∈C{displaystyle lambda in mathbb {C} } (а также для комплексных показателей q∈C{displaystyle qin mathbb {C} }).

Альтернативное определение однородной функции |

В некоторых математических источниках однородными называются функции, являющиеся решением функционального уравнения

f(λv)=g(λ)f(v){displaystyle f(lambda mathbf {v} )=g(lambda )f(mathbf {v} )}

g(λ){displaystyle g(lambda )}

g(λ)=λq.{displaystyle g(lambda )=lambda ^{q}.}

g(λ)=λq{displaystyle g(lambda )=lambda ^{q}}

f(v){displaystyle f(mathbf {v} )}

g(λ){displaystyle g(lambda )}

f(v){displaystyle f(mathbf {v} )}

g(λ){displaystyle g(lambda )}

λ,{displaystyle lambda ,}

f(v){displaystyle f(mathbf {v} )}

g(λ)≡λq{displaystyle g(lambda )equiv lambda ^{q}}

Обоснование:

Функция, тождественно равная нулю, удовлетворяет функциональному уравнению f(λv)=g(λ)f(v){displaystyle f(lambda mathbf {v} )=g(lambda )f(mathbf {v} )} при любом выборе функции g(λ),{displaystyle g(lambda ),} однако этот вырожденный случай не представляет особого интереса.

Если же в какой-то точке v0{displaystyle mathbf {v} _{0}} значение f(v0)≠0,{displaystyle f(mathbf {v} _{0})neq 0,} то:

1. 
   g(λ1λ2)f(v0)=f(λ1λ2v0)=g(λ1)f(λ2v0)=g(λ1)g(λ2)f(v0){displaystyle g(lambda _{1}lambda _{2})f(mathbf {v} _{0})=f(lambda _{1}lambda _{2}mathbf {v} _{0})=g(lambda _{1})f(lambda _{2}mathbf {v} _{0})=g(lambda _{1})g(lambda _{2})f(mathbf {v} _{0})}, откуда:
   
   

   ∀λ1,λ2:g(λ1λ2)=g(λ1)g(λ2);{displaystyle forall lambda _{1},lambda _{2}:g(lambda _{1}lambda _{2})=g(lambda _{1})g(lambda _{2});}

   
   
   
   
   


2. 
   g(λ1λ2)=g(λ1)g(λ2)⇔G(μ1+μ2)=G(μ1)+G(μ2),{displaystyle g(lambda _{1}lambda _{2})=g(lambda _{1})g(lambda _{2})Leftrightarrow G(mu _{1}+mu _{2})=G(mu _{1})+G(mu _{2}),} где μ=log⁡λ,G(μ)=log⁡g(exp⁡(μ)).{displaystyle mu =log lambda ,G(mu )=log g(exp(mu )).}
   

Функциональное уравнение Коши G(μ1+μ2)=G(μ1)+G(μ2){displaystyle G(mu _{1}+mu _{2})=G(mu _{1})+G(mu _{2})} имеет решение в виде линейной функции: G(t)=q⋅t,{displaystyle G(t)=qcdot t,} причём для класса непрерывных или класса монотонных функций это решение единственное. Поэтому если известно, что g(λ){displaystyle g(lambda )} непрерывная или монотонная функция, то g(λ)≡λq.{displaystyle g(lambda )equiv lambda ^{q}.}

Доказательство непрерывности g(λ),{displaystyle g(lambda ),} если f(v){displaystyle f(mathbf {v} )} непрерывна хотя бы в одной точке

Пусть функция f(v){displaystyle f(mathbf {v} )} непрерывна в фиксированной точке v0,{displaystyle mathbf {v} _{0},} причём f(v0)≠0.{displaystyle f(mathbf {v} _{0})neq 0.} Рассмотрим тождество

f((1+ε)λ0v0)=g((1+ε)λ0)f(v0)=g(λ0)f((1+ε)v0).{displaystyle f((1+varepsilon )lambda _{0}mathbf {v} _{0})=g((1+varepsilon )lambda _{0})f(mathbf {v} _{0})=g(lambda _{0})f((1+varepsilon )mathbf {v} _{0}).}

При ε→0{displaystyle varepsilon to 0} значение f((1+ε)v0){displaystyle f((1+varepsilon )mathbf {v} _{0})} стремится к f(v0){displaystyle f(mathbf {v} _{0})} в силу непрерывности функции f(v){displaystyle f(mathbf {v} )} в точке v0.{displaystyle mathbf {v} _{0}.} Поскольку f(v0)≠0,{displaystyle f(mathbf {v} _{0})neq 0,} то это означает, что g((1+ε)λ0){displaystyle g((1+varepsilon )lambda _{0})} стремится к g(λ0),{displaystyle g(lambda _{0}),} то есть что функция g(λ){displaystyle g(lambda )} непрерывна в точке λ0.{displaystyle lambda _{0}.} Поскольку λ0{displaystyle lambda _{0}} может быть выбрано любым, то g(λ){displaystyle g(lambda )} непрерывна во всех точках.

Следствие: Если однородная функция f(v){displaystyle f(mathbf {v} )} непрерывна в точке v0,{displaystyle mathbf {v} _{0},} то f(v){displaystyle f(mathbf {v} )} будет непрерывной также во всех точках вида λv0{displaystyle lambda mathbf {v} _{0}} (в том числе и тогда, когда f(v0)=0{displaystyle f(mathbf {v} _{0})=0}).

Свойства |

1. Если f1,f2,…{displaystyle f_{1},f_{2},dots } — однородные функции одного и того же порядка q,{displaystyle q,} то их линейная комбинация с постоянными коэффициентами будет однородной функцией того же порядка q.{displaystyle q.}
   


2. Если f1,f2,…{displaystyle f_{1},f_{2},dots } — однородные функции с порядками q1,q2,…,{displaystyle q_{1},q_{2},dots ,} то их произведение будет однородной функцией с порядком q=q1+q2+….{displaystyle q=q_{1}+q_{2}+dots .}
   


3. Если f{displaystyle f} — однородная функция порядка q,{displaystyle q,} то её m{displaystyle m}-ая степень (не обязательно целочисленная), если она имеет смысл (то есть если m{displaystyle m} — целое число, или если значение f{displaystyle f} положительно), будет однородной функцией порядка mq{displaystyle mq} на соответствующей области определения. В частности, если f{displaystyle f} — однородная функция порядка q{displaystyle q}, то 1/f{displaystyle 1/f} будет однородной функцией порядка (−q){displaystyle (-q)} и областью определения в точках, где f{displaystyle f} определена и не равна нулю.


4. Если f(x1,x2,…,xn){displaystyle fleft(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}right)} — однородная функция порядка p,{displaystyle p,} а hk(y1,y2,…,ym){displaystyle h_{k}left(y_{1},y_{2},dots ,y_{m}right)} — однородные функции порядка q,{displaystyle q,} то суперпозиция функций F(y1,y2,…,ym)=f(h1,h2,…,hn){displaystyle Fleft(y_{1},y_{2},dots ,y_{m}right)=fleft(h_{1},h_{2},dots ,h_{n}right)} будет однородной функцией порядка pq.{displaystyle pq.}
   


5. Если f(x1,x2,…,xn){displaystyle fleft(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}right)} — однородная функция n{displaystyle n} переменных степени p,{displaystyle p,} и гиперплоскость x1=x2=⋯=xj=0{displaystyle x_{1}=x_{2}=dots =x_{j}=0} принадлежит её области определения, то функция (n−j){displaystyle left(n-jright)} переменных g(xj+1,xj+2,…,xn)=f(0,…,0,xj+1,…,xn){displaystyle gleft(x_{j+1},x_{j+2},dots ,x_{n}right)=fleft(0,dots ,0,x_{j+1},dots ,x_{n}right)} будет однородной функцией степени p.{displaystyle p.}
   


6. 
   Логарифм однородной функции нулевого порядка или логарифм модуля однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка. Логарифм однородной функции или логарифм модуля однородной функции является однородной функцией тогда и только тогда, когда порядок однородности самой функции равен нулю.


7. 
   Модуль однородной функции или модуль абсолютно-однородной функции является абсолютно-однородной функцией. Модуль однородной функции или модуль положительно однородной функции является положительно однородной функцией. Модуль однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка. Абсолютно-однородная функция нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка, и наоборот.


8. Произвольная функция от однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка.


9. Если hk(x1,x2,…,xn){displaystyle h_{k}left(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}right)} —— положительно однородные функции порядка p,{displaystyle p,} где p≠0,{displaystyle pneq 0,} а f(x1,x2,…,xn)=g(h1,h2,…,hm){displaystyle fleft(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}right)=gleft(h_{1},h_{2},dots ,h_{m}right)} —— положительно однородная функция порядка q,{displaystyle q,} то функция g(y1,y2,…,ym){displaystyle gleft(y_{1},y_{2},dots ,y_{m}right)} будет положительно однородной функцией порядка q/p{displaystyle q/p} во всех точках y{displaystyle y}, в которых система уравнений y1=h1(x1,x2,…,xn){displaystyle y_{1}=h_{1}left(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}right)}, ..., ym=hm(x1,x2,…,xn){displaystyle y_{m}=h_{m}left(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}right)} имеет решение. Если при этом p{displaystyle p} —— нечётное целое число, то положительную однородность можно заменить на обычную однородность. Следствие: если имеется непрерывная или монотонная функция g(y){displaystyle g(y)}, причём g(f(x1,x2,…,xn)){displaystyle gleft(fleft(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}right)right)} —— однородная или положительно однородная функция, где f(x1,x2,…,xn){displaystyle fleft(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}right)} —— однородная или положительно однородная функция ненулевого порядка, то g(y)=cym{displaystyle g(y)=cy^{m}} —— степенная функция во всех точках y{displaystyle y}, в которых уравнение y=f(x1,x2,…,xn){displaystyle y=fleft(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}right)} имеет решение. В частности, f(x)=cxq{displaystyle f(x)=cx^{q}} —— единственная монотонная или непрерывная функция одного переменного, являющаяся однородной функцией порядка q{displaystyle q} . (Доказательство дублирует рассуждения из раздела «Альтернативное определение однородной функции» этой статьи. При этом если снять ограничение, что функция g(y){displaystyle g(y)} —— непрерывная или же монотонная, то могут иметься и другие, весьма экзотические решения для g(y){displaystyle g(y)}, см. статью «Базис Гамеля».)


10. Если функция  f{displaystyle f}  является многочленом от  n{displaystyle n}  переменных, то она будет однородной функцией степени  q{displaystyle q}  в том и только в том случае, когда  f{displaystyle f} — однородный многочлен степени  q.{displaystyle q.}  В частности, в этом случае порядок однородности q{displaystyle q}  должен быть натуральным числом или нулём. (Для доказательства надо сгруппировать вместе мономы многочлена cx1i1x2i2⋯xnin{displaystyle cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}cdots x_{n}^{i_{n}}} с одинаковыми порядками однородности kj=i1+i2+⋯+in{displaystyle k_{j}=i_{1}+i_{2}+dots +i_{n}}, подставить результат в равенство (∗){displaystyle (*)} и использовать тот факт, что степенные функции λk1,λk2,…{displaystyle lambda ^{k_{1}},lambda ^{k_{2}},dots } с разными показателями степени, в том числе и нецелочисленными, являются линейно независимыми.) Утверждение можно обобщить на случай линейных комбинаций мономов вида cx1i1x2i2⋯xnin{displaystyle cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}cdots x_{n}^{i_{n}}} с нецелочисленными индексами.


11. Если конечное произведение многочленов является однородной функцией, то каждый сомножитель является однородным многочленом. (Для доказательства выберем в каждом сомножителе мономы cx1i1x2i2⋯xnin{displaystyle cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}cdots x_{n}^{i_{n}}} с минимальным и максимальным порядками однородности k=i1+i2+⋯+in{displaystyle k=i_{1}+i_{2}+dots +i_{n}}. Поскольку после перемножения получившийся многочлен должен состоять из мономов с одним и тем же порядком однородности, то для каждого сомножителя минимальный и максимальный порядок однородности должен быть одним и тем же числом.) Утверждение можно обобщить на случай линейных комбинаций мономов вида cx1i1x2i2⋯xnin{displaystyle cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}cdots x_{n}^{i_{n}}} с нецелочисленными индексами.


12. Если числитель и знаменатель дробно-рациональной функции f=Pn(x1,…,xn)Qm(x1,…,xm){displaystyle f={frac {P_{n}(x_{1},dots ,x_{n})}{Q_{m}(x_{1},dots ,x_{m})}}} являются однородными многочленами, функция будет однородной с порядком однородности, равным разности порядков однородности числителя и знаменателя. Если дробно-рациональная функция является однородной, её числитель и знаменатель с точностью до общего множителя — однородные многочлены. Утверждение можно обобщить на случай дробно-рационального отношения линейных комбинаций мономов вида cx1i1x2i2⋯xnin{displaystyle cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}cdots x_{n}^{i_{n}}} с нецелочисленными индексами.


13. Однородная функция ненулевой степени в нуле равна нулю, если она там определена:  f(0)=0.{displaystyle f(mathbf {0} )=0.} (Получается при подстановке в равенство (∗){displaystyle (*)} значения  λ=0{displaystyle lambda =0}  либо, в случае отрицательной степени однородности, значения v=0.{displaystyle mathbf {v} =0.}) Однородная функция нулевой степени, если она определена в нуле, может принимать в этой точке любое значение.


14. Если однородная функция нулевой степени непрерывна в нуле, то она является константой (произвольной). Если однородная функция отрицательной степени непрерывна в нуле, то она тождественный ноль. (Преобразованием v′=λv{displaystyle mathbf {v'} =lambda mathbf {v} } можно любую точку v{displaystyle mathbf {v} } сколь угодно близко приблизить к нулю. Поэтому если функция в нуле непрерывна, то можно выразить значение функции в точке v{displaystyle mathbf {v} } через её значение в точке 0{displaystyle mathbf {0} } с помощью соотношения limλ→0λqf(v)=f(0).{displaystyle lim _{lambda to 0}lambda ^{q}f(mathbf {v} )=f(mathbf {0} ).})


15. Однородная функция положительной степени в нуле стремится к нулю по любому направлению, которое входит в её область определения, а однородная функция отрицательной степени —— к бесконечности, знак которой зависит от направления, если только функция не является тождественным нулём вдоль данного направления. Однородная функция положительной степени непрерывна в нуле или может быть доопределена до непрерывной в нуле, если в её область определения входит ε{displaystyle varepsilon }-окрестность нуля. Однородная функция нулевой степени может быть как разрывна, так и непрерывна в нуле, и в случае разрывности является константой, зависящей от направления, вдоль каждого луча с вершиной в начале координат, если направление входит в её область определения. (Получается при подстановке в равенство (∗){displaystyle (*)} значения  λ→0.{displaystyle lambda to 0.})


16. Если однородная функция f{displaystyle f} в нуле является аналитической (то есть, разлагается в сходящийся ряд Тейлора с ненулевым радиусом сходимости), то она является многочленом (однородным многочленом). В частности, в этом случае порядок однородности должен быть натуральным числом или нулём. (Для доказательства достаточно представить функцию в виде ряда Тейлора, сгруппировать вместе члены ряда Тейлора cx1i1x2i2⋯xnin{displaystyle cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}cdots x_{n}^{i_{n}}} с одинаковыми порядками однородности kj=i1+i2+⋯+in{displaystyle k_{j}=i_{1}+i_{2}+dots +i_{n}}, подставить результат в равенство (∗){displaystyle (*)} и использовать, что степенные функции λk1,λk2,…{displaystyle lambda ^{k_{1}},lambda ^{k_{2}},dots } с разными показателями степени, в том числе и нецелочисленными, являются линейно независимыми.)


17. Функция  f(x1,x2,...,xn)=x1q⋅h(x2/x1,x3/x1,...,xn/x1){displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},...,x_{n}/x_{1})} , где  h(t2,t3,...,tn){displaystyle h(t_{2},t_{3},...,t_{n})} — функция  (n−1){displaystyle (n-1)}  переменных, является однородной функцией с порядком однородности  q.{displaystyle q.}  Функция  f(x1,x2,...,xn)=|x|q⋅h(x2/x1,x3/x1,...,xn/x1),{displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x|^{q}cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},...,x_{n}/x_{1}),}  где  h(t2,t3,...,tn){displaystyle h(t_{2},t_{3},...,t_{n})} — функция  (n−1){displaystyle (n-1)}  переменных, является абсолютно-однородной функцией с порядком однородности  q.{displaystyle q.} 


18. 
    Соотношение Эйлера: для дифференцируемых однородных функций скалярное произведение их градиента на вектор своих переменных пропорционально самой функции с коэффициентом, равным порядку однородности:  v⋅∇f(v)=qf(v){displaystyle mathbf {v} cdot nabla f(mathbf {v} )=qf(mathbf {v} )}  или, в эквивалентной записи,  ∑xkfxk′=qf.{displaystyle sum x_{k}f'_{x_{k}}=qf.}  Получается при дифференцировании равенства (∗){displaystyle (*)} по  λ{displaystyle lambda }  при  λ=1.{displaystyle lambda =1.} 


19. Если  f(x1,x2,...,xn){displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})} — дифференцируемая однородная функция c порядком однородности  q{displaystyle q} , то её первые частные производные по каждой из независимых переменных fxk′(x1,x2,...,xn){displaystyle f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})} — это однородные функции c порядком однородности  q−1{displaystyle q-1}.  Для доказательства достаточно продифференцировать по  xk{displaystyle x_{k}}  правую и левую части тождества  f(λx1,λx2,…,λxn)=λqf(x1,x2,…,xn){displaystyle f(lambda x_{1},lambda x_{2},ldots ,lambda x_{n})=lambda ^{q}f(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})}  и получить тождество  fxk′(λx1,λx2,…,λxn)=λq−1fxk′(x1,x2,…,xn).{displaystyle f'_{x_{k}}(lambda x_{1},lambda x_{2},ldots ,lambda x_{n})=lambda ^{q-1}f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}).} 


20. Если  f(x1,x2,...,xn){displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})} — однородная функция c порядком однородности  q{displaystyle q} , то её интеграл (при условии существования такого интеграла) по любой независимой переменной начиная от нуля F(x1,x2,...,xn)=∫0x1f(t,x2,...,xn)dt{displaystyle F(x_{1},x_{2},...,x_{n})=int _{0}^{x_{1}}f(t,x_{2},...,x_{n})dt}  — это однородные функции c порядком однородности  q+1.{displaystyle q+1.} Доказательство: F(λx1,λx2,...,λxn)={displaystyle F(lambda x_{1},lambda x_{2},...,lambda x_{n})=}∫0λx1f(t,λx2,...,λxn)dt={displaystyle int _{0}^{lambda x_{1}}f(t,lambda x_{2},...,lambda x_{n})dt=}λ∫0x1f(λt′,λx2,...,λxn)dt′={displaystyle lambda int _{0}^{x_{1}}f(lambda t',lambda x_{2},...,lambda x_{n})dt'=}λq+1∫0x1f(t′,x2,...,xn)dt′={displaystyle lambda ^{q+1}int _{0}^{x_{1}}f(t',x_{2},...,x_{n})dt'=}λq+1F(x1,x2,...,xn){displaystyle lambda ^{q+1}F(x_{1},x_{2},...,x_{n})} (здесь сделана замена переменной интегрирования t=λt′{displaystyle t=lambda t'}).


21. Если  f(x1,x2,...,xn){displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})} — однородная функция c порядком однородности  q{displaystyle q} , то её дробная производная (дифферинтеграл) порядка α{displaystyle alpha }, вычисляемая как G(x1,x2,...,xn)=1Γ(n−α)dndx1n∫0x1(x1−t)n−α−1f(t,x2,...,xn)dt{displaystyle G(x_{1},x_{2},...,x_{n})={frac {1}{Gamma (n-alpha )}}{frac {d^{n}}{dx_{1}^{n}}}int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t)^{n-alpha -1}f(t,x_{2},...,x_{n}),dt} по любой независимой переменной начиная от нуля (при условии существования соответствующего интеграла, для чего требуется выбирать n>α{displaystyle n>alpha }) — это однородные функции c порядком однородности  q−α.{displaystyle q-alpha .} Рассмотрим функцию H(x1,x2,...,xn)=∫0x1(x1−t)n−α−1f(t,x2,...,xn)dt{displaystyle H(x_{1},x_{2},...,x_{n})=int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t)^{n-alpha -1}f(t,x_{2},...,x_{n}),dt} . Тогда H(λx1,λx2,...,λxn)={displaystyle H(lambda x_{1},lambda x_{2},...,lambda x_{n})=}∫0λx1(λx1−t)n−α−1f(t,λx2,...,λxn)dt={displaystyle int _{0}^{lambda x_{1}}(lambda x_{1}-t)^{n-alpha -1}f(t,lambda x_{2},...,lambda x_{n}),dt=}λ∫0x1(λx1−λt′)n−α−1f(λt′,λx2,...,λxn)dt′={displaystyle lambda int _{0}^{x_{1}}(lambda x_{1}-lambda t')^{n-alpha -1}f(lambda t',lambda x_{2},...,lambda x_{n}),dt'=}λq+n−α∫0x1(x1−t′)n−α−1f(t′,x2,...,xn)dt′={displaystyle lambda ^{q+n-alpha }int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t')^{n-alpha -1}f(t',x_{2},...,x_{n})dt'=}λq+n−αH(x1,x2,...,xn){displaystyle lambda ^{q+n-alpha }H(x_{1},x_{2},...,x_{n})} (здесь сделана замена переменной интегрирования t=λt′{displaystyle t=lambda t'}). После n{displaystyle n}-кратного дифференцирования по переменной x1{displaystyle x_{1}} однородная функция H(x1,x2,...,xn){displaystyle H(x_{1},x_{2},...,x_{n})} порядка q+n−α{displaystyle q+n-alpha } становится однородной функцией c порядком однородности  q−α{displaystyle q-alpha } .


22. Если  f(x1,x2,...,xn){displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})} — однородная функция c порядком однородности  q{displaystyle q} , то её n{displaystyle n}-мерная свёртка с обобщённым Абелевым ядром, вычисляемая как H(x1,x2,...,xn)=∫0x1…∫0xn(x1k1−t1k1)(μ1−1)/k1…(xnkn−tnkn)(μn−1)/knf(t1,...,tn)dt1…dtn{displaystyle H(x_{1},x_{2},...,x_{n})=int _{0}^{x_{1}}dots int _{0}^{x_{n}}(x_{1}^{k_{1}}-t_{1}^{k_{1}})^{left(mu _{1}-1right)/k_{1}}dots (x_{n}^{k_{n}}-t_{n}^{k_{n}})^{left(mu _{n}-1right)/k_{n}}f(t_{1},...,t_{n}),dt_{1}dots dt_{n}} (при условии существования соответствующего интеграла) — это однородная функция c порядком однородности  q+μ1+⋯+μn{displaystyle q+mu _{1}+dots +mu _{n}} . Доказательство: H(λx1,λx2,...,λxn)={displaystyle H(lambda x_{1},lambda x_{2},...,lambda x_{n})=}∫0λx1…∫0λxn(λk1x1k1−t1k1)(μ1−1)/k1…(λknxnkn−tnkn)(μn−1)/knf(t1,...,tn)dt1…dtn={displaystyle int _{0}^{lambda x_{1}}dots int _{0}^{lambda x_{n}}(lambda ^{k_{1}}x_{1}^{k_{1}}-t_{1}^{k_{1}})^{left(mu _{1}-1right)/k_{1}}dots (lambda ^{k_{n}}x_{n}^{k_{n}}-t_{n}^{k_{n}})^{left(mu _{n}-1right)/k_{n}}f(t_{1},...,t_{n}),dt_{1}dots dt_{n}=}λn∫0x1…∫0xn(λk1x1k1−λk1t1′k1)(μ1−1)/k1…(λknxnkn−λkntn′kn)(μn−1)/knf(λt1′,...,λtn′)dt1′…dtn′={displaystyle lambda ^{n}int _{0}^{x_{1}}dots int _{0}^{x_{n}}(lambda ^{k_{1}}x_{1}^{k_{1}}-lambda ^{k_{1}}t_{1}'^{k_{1}})^{left(mu _{1}-1right)/k_{1}}dots (lambda ^{k_{n}}x_{n}^{k_{n}}-lambda ^{k_{n}}t_{n}'^{k_{n}})^{left(mu _{n}-1right)/k_{n}}f(lambda t_{1}',...,lambda t_{n}'),dt_{1}'dots dt_{n}'=}λq+μ1+⋯+μn∫0x1…∫0xn(x1k1−t1′k1)(μ1−1)/k1…(xnkn−tn′kn)(μn−1)/knf(t1′,...,tn′)dt1′…dtn′={displaystyle lambda ^{q+mu _{1}+dots +mu _{n}}int _{0}^{x_{1}}dots int _{0}^{x_{n}}(x_{1}^{k_{1}}-t_{1}'^{k_{1}})^{left(mu _{1}-1right)/k_{1}}dots (x_{n}^{k_{n}}-t_{n}'^{k_{n}})^{left(mu _{n}-1right)/k_{n}}f(t_{1}',...,t_{n}'),dt_{1}'dots dt_{n}'=}λq+μ1+⋯+μnH(x1,x2,...,xn){displaystyle lambda ^{q+mu _{1}+dots +mu _{n}}H(x_{1},x_{2},...,x_{n})} , где сделана замена переменных интегрирования tk=λtk′{displaystyle t_{k}=lambda t_{k}'} . (Примечание: возможно выполнение свёртки только по части переменных.)

Теорема. Любая однородная функция с порядком однородности q{displaystyle q} может быть представлена в форме

     f(x1,x2,...,xn)=x1q⋅h(x2/x1,x3/x1,...,xn/x1),{displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},...,x_{n}/x_{1}),} 

где  h(t2,t3,...,tn){displaystyle h(t_{2},t_{3},...,t_{n})} — некоторая функция  (n−1){displaystyle (n-1)}  переменных. Любая абсолютно-однородная функция с порядком однородности  q{displaystyle q}  может быть представлена как

  f(x1,x2,...,xn)=|x|q⋅h(x2/x1,x3/x1,...,xn/x1),{displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x|^{q}cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},...,x_{n}/x_{1}),} 

где  h(t2,t3,...,tn){displaystyle h(t_{2},t_{3},...,t_{n})} — некоторая функция  (n−1){displaystyle (n-1)}  переменных.

Следствие. Любая однородная функция степени q{displaystyle q} (абсолютно-однородная функция степени q{displaystyle q}) может быть представлена в форме

     f(x1,x2,...,xn)=ϕ(x1,x2,...,xn)⋅h(ϕ1(x1,x2,...,xn),ϕ2(x1,x2,...,xn),...,ϕn−1(x1,x2,...,xn)),{displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=phi (x_{1},x_{2},...,x_{n})cdot h(phi _{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),phi _{2}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),...,phi _{n-1}(x_{1},x_{2},...,x_{n})),} 

где  h(t1,t2,...,tn−1){displaystyle h(t_{1},t_{2},...,t_{n-1})} — некоторая подходящая функция  (n−1){displaystyle (n-1)}  переменных, ϕ(x1,x2,...,xn){displaystyle phi (x_{1},x_{2},...,x_{n})} — фиксированная однородная функция степени q{displaystyle q} (фиксированная абсолютно-однородная функция степени q{displaystyle q}), а ϕ1(x1,x2,...,xn),{displaystyle phi _{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),} ϕ2(x1,x2,...,xn)){displaystyle phi _{2}(x_{1},x_{2},...,x_{n}))}, ..., ϕn−1(x1,x2,...,xn)){displaystyle phi _{n-1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}))} — фиксированные функционально-независимые однородные функции нулевой степени. При фиксированном выборе функций ϕ,ϕ1,ϕ2,...,ϕn−1{displaystyle phi ,phi _{1},phi _{2},...,phi _{n-1}} это представление задаёт взаимно-однозначное соответствие между однородными функциями f(x1,x2,...,xn){displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})} степени q{displaystyle q} от n{displaystyle n} переменных и функциями h(t1,t2,...,tn−1){displaystyle h(t_{1},t_{2},...,t_{n-1})} от (n−1){displaystyle (n-1)} переменных.

Теорема Эйлера для однородных функций. Для того, чтобы дифференцируемая функция  f(x1,x2,...,xn){displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}  была однородной функцией с порядком однородности  q,{displaystyle q,}  необходимо и достаточно выполнение соотношения Эйлера

 ∑xkfxk′(x1,x2,...,xn)=qf(x1,x2,...,xn).{displaystyle sum x_{k}f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=qf(x_{1},x_{2},...,x_{n}).} 

Следствие. Если функция дифференцируема и в каждой точке пространства соотношение однородности (∗){displaystyle (*)} справедливо в некотором интервале значений  λ∈[λ0−ε,λ0+ε]⊂[0,∞),{displaystyle lambda in left[lambda _{0}-varepsilon ,lambda _{0}+varepsilon right]subset left[0,infty right),}  то оно справедливо для всех  λ>0.{displaystyle lambda >0.} 

Лямбда-однородные функции |

Пусть задан вектор  λ=(λ1,λ2,...,λn).{displaystyle mathbf {lambda } =(lambda _{1},lambda _{2},...,lambda _{n}).}  Функция n{displaystyle n} переменных  f(x1,x2,...,xn){displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}  называется λ{displaystyle lambda }-однородной c порядком однородности  q{displaystyle q} , если при любых  t>0{displaystyle t>0}  и любых  x=(x1,x2,...,xn)∈Rn{displaystyle mathbf {x} =(x_{1},x_{2},...,x_{n})in {mathbb {R} }^{n}}  справедливо тождество

f(tλ1x1,tλ2x2,...,tλnxn)=tqf(x1,x2,...,xn).{displaystyle f(t^{lambda _{1}}x_{1},t^{lambda _{2}}x_{2},...,t^{lambda _{n}}x_{n})=t^{q}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).}

При  λk=1{displaystyle lambda _{k}=1}  λ{displaystyle lambda }-однородные функции переходят в обычные однородные функции. Иногда вместо порядка однородности  q{displaystyle q}  вводят степень однородности  m{displaystyle m},  определяемую из соотношения

f(tλ1x1,tλ2x2,...,tλnxn)=tm|λ|nf(x1,x2,...,xn),{displaystyle f(t^{lambda _{1}}x_{1},t^{lambda _{2}}x_{2},...,t^{lambda _{n}}x_{n})=t^{m{frac {|mathbf {lambda } |}{n}}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),}

где  |λ|=∑|λk|.{displaystyle |mathbf {lambda } |=sum |lambda _{k}|.}  Для обычных однородных функций порядок однородности  q{displaystyle q}  и степень однородности  m{displaystyle m}  совпадают.

Если частные производные  fxk′(x1,x2,...,xn){displaystyle f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})}  непрерывны в Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}, то для λ{displaystyle lambda }-однородных функций справедливо соотношение, обобщающее соотношение Эйлера и получающееся при дифференцировании тождества для  λ{displaystyle lambda }-однородности в точке  t=1{displaystyle t=1}:

∑λxxkfxk′(x1,x2,...,xn)=qf(x1,x2,...,xn).{displaystyle sum lambda _{x}x_{k}f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=qf(x_{1},x_{2},...,x_{n}).}

Как и в случае обычных однородных функций, это соотношение является необходимым и достаточным, чтобы функция  f(x1,x2,...,xn){displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}  была λ{displaystyle lambda }-однородной функцией с вектором  (λ1,λ2,...,λn){displaystyle (lambda _{1},lambda _{2},...,lambda _{n})}  и порядком однородности  q.{displaystyle q.}  Для доказательства достаточности надо рассмотреть функцию  φ(t)=t−qf(tλ1x1,tλ2x2,...,tλnxn){displaystyle varphi (t)=t^{-q}f(t^{lambda _{1}}x_{1},t^{lambda _{2}}x_{2},...,t^{lambda _{n}}x_{n})}  и убедиться, что при выполнении указанного дифференциального соотношения её производная равна нулю, то есть что эта функция константа и что  φ(t)≡φ(1).{displaystyle varphi (t)equiv varphi (1).}

Если  f(x1,x2,...,xn){displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})} — λ{displaystyle lambda }-однородная функция с вектором  λ=(λ1,λ2,...,λn){displaystyle mathbf {lambda } =(lambda _{1},lambda _{2},...,lambda _{n})}  и порядком однородности  q{displaystyle q},  то она же является λ{displaystyle lambda }-однородной функцией с вектором λ=(αλ1,αλ2,...,αλn){displaystyle mathbf {lambda } =(alpha lambda _{1},alpha lambda _{2},...,alpha lambda _{n})}  и порядком однородности  αq{displaystyle alpha q}  (следует из подстановки в тождество для λ{displaystyle lambda }-однородности нового параметра  t′→tα{displaystyle t'to t^{alpha }}). В силу этого при рассмотрении λ{displaystyle lambda }-однородных функций достаточно ограничиваться случаем  ∑|λk|=const.{displaystyle sum |lambda _{k}|=const.}  В частности, нормировка  ∑|λk|{displaystyle sum |lambda _{k}|}  может выбираться таким образом, чтобы порядок однородности  q{displaystyle q}  был равен заранее фиксированному значению. Кроме того, без ограничения общности можно считать, что  λk≠0.{displaystyle lambda _{k}neq 0.} 

При замене переменных  xk=ykλk{displaystyle x_{k}=y_{k}^{lambda _{k}}}  λ{displaystyle lambda }-однородная функция  f(x1,x2,...,xn){displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}  с вектором  λ=(λ1,λ2,...,λn){displaystyle mathbf {lambda } =(lambda _{1},lambda _{2},...,lambda _{n})}  и порядком однородности  q{displaystyle q}  переходит в обычную однородную функцию  g(y1,y2,...,yn){displaystyle g(y_{1},y_{2},...,y_{n})}  с порядком однородности  q{displaystyle q}.  Отсюда следует, что общее представление для λ{displaystyle lambda }-однородных функций с вектором  λ=(λ1,λ2,...,λn){displaystyle mathbf {lambda } =(lambda _{1},lambda _{2},...,lambda _{n})}  и порядком однородности  q{displaystyle q}  имеет вид:

f(x1,x2,...,xn)=x1q/λ1⋅h(x21/λ2/x11/λ1,x31/λ3/x11/λ1,…,xn1/λn/x11/λ1),{displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q/lambda _{1}}cdot h(x_{2}^{1/lambda _{2}}/x_{1}^{1/lambda _{1}},x_{3}^{1/lambda _{3}}/x_{1}^{1/lambda _{1}},ldots ,x_{n}^{1/lambda _{n}}/x_{1}^{1/lambda _{1}}),}

где h(t2,t3,...,tn){displaystyle h(t_{2},t_{3},...,t_{n})} — некоторая функция (n−1){displaystyle (n-1)} переменных.

Источник: Я. С. Бугров, С. М. Никольский, Высшая математика: учебник для вузов (в 3 т.), Т.2: Дифференциальное и интегральное исчисление (http://www.sernam.ru/lect_math2.php), раздел 8.8.4.

Оператор Эйлера |

Дифференциальный оператор

x1∂f∂x1+x2∂f∂x2+…+xn∂f∂xn{displaystyle x_{1}{frac {partial f}{partial x_{1}}}+x_{2}{frac {partial f}{partial x_{2}}}+ldots +x_{n}{frac {partial f}{partial x_{n}}}}

иногда называют оператором Эйлера, по аналогии с тождеством Эйлера для однородных функций. Из теоремы Эйлера для однородных функций, приведённой выше, следует, что собственными функциями этого оператора являются однородные функции и только они, причём собственным значением для такой функции является её порядок однородности.

Соответственно, функциями, обращающими оператор Эйлера в константу, являются логарифмы однородных функций и только они. Функциями, обращающими оператор Эйлера в ноль, являются однородные функции нулевого порядка и только они (логарифм однородной функции нулевого порядка сам является однородной функцией нулевого порядка).

Аналогичным образом для дифференциального оператора

λ1x1∂f∂x1+λ2x2∂f∂x2+…+λnxn∂f∂xn{displaystyle lambda _{1}x_{1}{frac {partial f}{partial x_{1}}}+lambda _{2}x_{2}{frac {partial f}{partial x_{2}}}+ldots +lambda _{n}x_{n}{frac {partial f}{partial x_{n}}}}

собственными функциями являются λ{displaystyle lambda }-однородные функции с вектором  (λ1,λ2,…,λn){displaystyle (lambda _{1},lambda _{2},ldots ,lambda _{n})}  и только они, причём собственным значением является порядок однородности λ{displaystyle lambda }-однородной функции. В константу же этот дифференциальный оператор обращают логарифмы λ{displaystyle lambda }-однородных функций с вектором  (λ1,λ2,…,λn){displaystyle (lambda _{1},lambda _{2},ldots ,lambda _{n})}, и никакие другие функции.

Дальнейшим обобщением оператора Эйлера служит дифференциальный оператор

λ1x1μ1∂f∂x1+λ2x2μ2∂f∂x2+…+λnxnμn∂f∂xn,{displaystyle lambda _{1}x_{1}^{mu _{1}}{frac {partial f}{partial x_{1}}}+lambda _{2}x_{2}^{mu _{2}}{frac {partial f}{partial x_{2}}}+ldots +lambda _{n}x_{n}^{mu _{n}}{frac {partial f}{partial x_{n}}},}

который сводится к оператору Эйлера y1∂f∂y1+y2∂f∂y2+…+yn∂f∂yn{displaystyle y_{1}{frac {partial f}{partial y_{1}}}+y_{2}{frac {partial f}{partial y_{2}}}+ldots +y_{n}{frac {partial f}{partial y_{n}}}} заменой
yk=exp⁡(x1−μkλk(1−μk)){displaystyle y_{k}=exp left({frac {x^{1-mu _{k}}}{lambda _{k}left(1-mu _{k}right)}}right)} при μk≠1;{displaystyle mu _{k}neq 1;} yk=x1/λk{displaystyle y_{k}=x^{1/lambda _{k}}} при μk=1.{displaystyle mu _{k}=1.}
Также к оператору Эйлера с помощью замены yk=exp⁡(∫akxdthk(t)){displaystyle y_{k}=exp left(int _{a_{k}}^{x}{frac {dt}{h_{k}(t)}}right)} сводятся все дифференциальные операторы вида h1(x1)∂f∂x1+h2(x2)∂f∂x2+…+hn(xn)∂f∂xn.{displaystyle h_{1}(x_{1}){frac {partial f}{partial x_{1}}}+h_{2}(x_{2}){frac {partial f}{partial x_{2}}}+ldots +h_{n}(x_{n}){frac {partial f}{partial x_{n}}}.}

Источник: Chi Woo, Igor Khavkine, Euler’s theorem on homogeneous functions (PlanetMath.org)

Ограниченно однородные функции |

Функция  f(x1,x2,…,xn):Rn→R{displaystyle f(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}):mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} }  называется ограниченно однородной с показателем однородности  q{displaystyle q}  относительно множества положительных вещественных чисел  Λ{displaystyle Lambda }  (называемого множеством однородности), если для всех  x→∈Rn{displaystyle {vec {x}}in mathbb {R} ^{n}}  и для всех  λ∈Λ{displaystyle lambda in Lambda }  справедливо тождество

f(λx→)=λqf(x→).{displaystyle f(lambda {vec {x}})=lambda ^{q}f({vec {x}}).}

Множество однородности  Λ{displaystyle Lambda }  всегда содержит в себе единицу. Множество однородности  Λ{displaystyle Lambda }  не может включать в себя сколь угодно малый непрерывный отрезок  λ∈[λ0−ε,λ0+ε]{displaystyle lambda in left[lambda _{0}-varepsilon ,lambda _{0}+varepsilon right]} — в противном случае ограниченно однородная функция оказывается обычной однородной функцией (см. далее раздел «Некоторые функциональные уравнения, связанные с однородными функциями»). Поэтому интерес представляют те ограниченно однородные функции, у которых  Λ≠{1}{displaystyle Lambda neq {1}}  и у которых множество однородности  Λ{displaystyle Lambda }  сугубо дискретно.

Пример 1. Функция  f(x)=xqsin⁡(log⁡|x|){displaystyle f(x)=x^{q}sin(log |x|)}  является ограниченно однородной с показателем однородности  q{displaystyle q}  относительно множества  Λ={e2πm},{displaystyle Lambda ={e^{2pi m}},}  где  m{displaystyle m} — целые числа.

Пример 2. Функция  f(x,y,z)=(x2+2y2+3z2)q/2cos⁡(log⁡x2−xy+y2){displaystyle f(x,y,z)=(x^{2}+2y^{2}+3z^{2})^{q/2}cos(log {sqrt {x^{2}-xy+y^{2}}})}  является ограниченно однородной с показателем однородности  q{displaystyle q}  относительно множества  Λ={e2πk},{displaystyle Lambda ={e^{2pi k}},}  где  k{displaystyle k} — целые числа.

Теорема. Чтобы функция  f(x1,x2,...,xn),{displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),}  определённая при  x1>0,{displaystyle x_{1}>0,}  была ограниченно однородной с порядком однородности  q,{displaystyle q,}  необходимо и достаточно, чтобы она имела вид

 f(x1,x2,...,xn)=x1q⋅H(log⁡x1,x2/x1,x3/x1,…,xn/x1),{displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}cdot H(log x_{1},x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},ldots ,x_{n}/x_{1}),} 

где  H(y,t2,t3,…,tn){displaystyle H(y,t_{2},t_{3},ldots ,t_{n})} — функция, периодическая по переменной  y{displaystyle y}  с по крайней мере одним периодом, не зависящим от  t2,t3,…,tn.{displaystyle t_{2},t_{3},ldots ,t_{n}.}  В таком случае множество однородности  Λ{displaystyle Lambda }  состоит из чисел  {eYk},{displaystyle {e^{Y_{k}}},}  где  Yk{displaystyle Y_{k}} — периоды функции  H(y,t2,t3,…,tn),{displaystyle H(y,t_{2},t_{3},ldots ,t_{n}),}  не зависящие от  t2,t3,…,tn.{displaystyle t_{2},t_{3},ldots ,t_{n}.} 

Доказательство. Достаточность проверяется непосредственно, надо доказать необходимость. Сделаем замену переменных

 x1,x2,...,xn→x1,t2,...,tn,{displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}to x_{1},t_{2},...,t_{n},}  где  tk=xk/x1,{displaystyle t_{k}=x_{k}/x_{1},} 

так что  f(x1,x2,...,xn)=g(x1,t2,...,tn).{displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=g(x_{1},t_{2},...,t_{n}).}  Если теперь рассмотреть функцию  h(x1,t2,...,tn)=g(x1,t2,...,tn)/x1q,{displaystyle h(x_{1},t_{2},...,t_{n})=g(x_{1},t_{2},...,t_{n})/x_{1}^{q},}  то из условия однородности получаем для всех допустимых  x1{displaystyle x_{1}}  равенство

 h(λx1,t2,...,tn)=h(x1,t2,t3,...,tn),{displaystyle h(lambda x_{1},t_{2},...,t_{n})=h(x_{1},t_{2},t_{3},...,t_{n}),} 

которое будет справедливым, когда  λ∈Λ.{displaystyle lambda in Lambda .}  Если только множество  Λ{displaystyle Lambda }  не состоит из одной лишь единицы, то после замены  x1=exp⁡(y){displaystyle x_{1}=exp(y)}  функция

 H(y,t2,...,tn)=H(log⁡x1,t2,...,tn)=h(x1,t2,...,tn){displaystyle H(y,t_{2},...,t_{n})=H(log x_{1},t_{2},...,t_{n})=h(x_{1},t_{2},...,t_{n})} 

оказывается периодической по переменной  y{displaystyle y}  с ненулевым периодом  log⁡λ{displaystyle log lambda }  для любого выбранного фиксированным образом  λ∈Λ,{displaystyle lambda in Lambda ,}  поскольку из приведённого выше равенства следует соотношение

 H(log⁡x1+log⁡λ,t2,...,tn)=H(log⁡x1,t2,...,tn).{displaystyle H(log x_{1}+log lambda ,t_{2},...,t_{n})=H(log x_{1},t_{2},...,t_{n}).} 

Очевидно, что выбранное фиксированное значение log⁡λ{displaystyle log lambda }  будет периодом функции  H(y,t2,...,tn){displaystyle H(y,t_{2},...,t_{n})}  сразу при всех  t2,...,tn.{displaystyle t_{2},...,t_{n}.} 

Следствия:

1. Если имеется наименьший положительный период  Y>0,{displaystyle Y>0,}  не зависящий от  t2,t3,…,tn,{displaystyle t_{2},t_{3},ldots ,t_{n},}  то множество однородности  Λ{displaystyle Lambda }  имеет вид  {emY},{displaystyle {e^{mY}},}  где  m=0,±1,±2,…{displaystyle m=0,pm 1,pm 2,dots } — произвольные целые числа. (Если  Y{displaystyle Y} — наименьший положительный период функции  H(y,...),{displaystyle H(y,...),}  то и все  Ym=mY{displaystyle Y_{m}=mY} — её периоды, поэтому числа  {emY}{displaystyle {e^{mY}}}  будут входить в множество однородности. Если же найдётся такое значение однородности  λ∗=eY∗,{displaystyle lambda _{*}=e^{Y_{*}},}  что  emY<eY∗<e(m+1)Y,{displaystyle e^{mY}<e^{Y_{*}}<e^{(m+1)Y},}  то  Y∗−mY{displaystyle Y_{*}-mY}  окажется положительным периодом, не зависящим от  t2,...,tn,{displaystyle t_{2},...,t_{n},}  который будет меньше, чем  Y.{displaystyle Y.} )


2. Если функция  H(y,…){displaystyle H(y,ldots )} — это константа по переменной  y,{displaystyle y,}  то у неё нет наименьшего положительного периода (любое положительное число является её периодом). В этом случае  H(y,…){displaystyle H(y,ldots )}  не зависит от переменной  y,{displaystyle y,}  и функция
       f(x1,x2,...,xn)=x1q⋅H(x2/x1,x3/x1,…,xn/x1){displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}cdot H(x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},ldots ,x_{n}/x_{1})} 
   — это обычная положительно однородная функция (по меньшей мере). Множество однородности  Λ{displaystyle Lambda }  в этом случае — вся положительная полуось  λ>0{displaystyle lambda >0}  (по меньшей мере).


3. Возможны экзотические случаи, когда у периодической функции  H(y,...){displaystyle H(y,...)}  не имеется наименьшего положительного периода, но при этом она и не является константой. Например, у функции Дирихле, равной 1 в рациональных точках и равной 0 в иррациональных точках, периодом является любое рациональное число. В таком случае множество однородности  Λ{displaystyle Lambda }  может иметь достаточно сложную структуру. Однако если при каждом наборе значений  t2,t3,…,tn{displaystyle t_{2},t_{3},ldots ,t_{n}}  у периодической функции  H(y,...){displaystyle H(y,...)}  есть предел по переменной  y{displaystyle y}  хотя бы в одной точке, эта функция либо имеет наименьший положительный период (а все остальные периоды — кратные наименьшего положительного периода), либо является константой по переменной  y.{displaystyle y.} 


4. Ограниченно однородные функции, определённые при  x<0,{displaystyle x<0,}  имеют вид
       f(x1,x2,...,xn)=(−x1)q⋅H(log⁡(−x1),x2/x1,x3/x1,…,xn/x1){displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=(-x_{1})^{q}cdot H(log(-x_{1}),x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},ldots ,x_{n}/x_{1})} 
   с надлежащим образом выбранной функцией  H(y,t2,t3,…,tn),{displaystyle H(y,t_{2},t_{3},ldots ,t_{n}),}  периодической по переменной  y.{displaystyle y.} 


5. Ограниченно однородные функции, определённые на всей числовой оси за вычетом точки  x=0,{displaystyle x=0,}  имеют вид
       f(x1,x2,...,xn)=|x1|q⋅H±(log⁡|x1|,x2/x1,x3/x1,…,xn/x1),{displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x_{1}|^{q}cdot H_{pm }(log |x_{1}|,x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},ldots ,x_{n}/x_{1}),} 
   с надлежащим образом выбранной функцией  H±(y,t2,t3,…,tn),{displaystyle H_{pm }(y,t_{2},t_{3},ldots ,t_{n}),}  периодической по переменной  y{displaystyle y}  (где обозначение  H±(…){displaystyle H_{pm }(ldots )}  подчёркивает, что для интервала значений  x1>0{displaystyle x_{1}>0}  и для интервала значений  x1<0{displaystyle x_{1}<0}  выбираются, вообще говоря, разные периодические функции H(y){displaystyle H(y)}, каждая с областью определения y∈(−∞,+∞){displaystyle yin (-infty ,+infty )}, но обязательно имеющие при этом один и тот же период).


6. Формула  f(x1,...,xn)=x1q⋅H(log⁡|x1|,x2/x1,…,xn/x1),{displaystyle f(x_{1},...,x_{n})=x_{1}^{q}cdot H(log |x_{1}|,x_{2}/x_{1},ldots ,x_{n}/x_{1}),}  является универсальной, но не отражает равноправность всех переменных. Можно представить функцию  H(y,t2,…,tn…){displaystyle H(y,t_{2},dots ,t_{n}ldots )}  как  G(w⋅y+log⁡W(t2,…,tn),t2,…,tn),{displaystyle Gleft(wcdot y+log W(t_{2},dots ,t_{n}),t_{2},dots ,t_{n}right),}  где период функции  G(t,t2,…,tn){displaystyle Gleft(t,t_{2},dots ,t_{n}right)}  равен  2π,{displaystyle 2pi ,}  нормировочный множитель  w{displaystyle w}  не зависит от  t2,…,tn,{displaystyle t_{2},dots ,t_{n},}  а функция  W(t2,…,tn){displaystyle W(t_{2},dots ,t_{n})}  выбрана фиксированной. При такой записи ограниченно однородные функции приобретают вид
       f(x1,...,xn)=F(log⁡Q(x1,…,xn),x1,…,xn),{displaystyle f(x_{1},...,x_{n})=F(log Q(x_{1},ldots ,x_{n}),x_{1},ldots ,x_{n}),} 
   где  F(y,x1,x2,…,xn){displaystyle F(y,x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})} — однородная функция с показателем однородности  q{displaystyle q}  по переменным  x1,x2,…,xn{displaystyle x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}}  и периодическая с периодом  2π{displaystyle 2pi }  по переменной  y,{displaystyle y,}   Q(x1,x2,…,xn),{displaystyle Q(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}),} — фиксированная однородная функция с показателем однородности  w{displaystyle w}  по переменным  x1,x2,…,xn,{displaystyle x_{1},x_{2},ldots ,x_{n},}  а множество однородности имеет вид  Λ={e2πm/w},{displaystyle Lambda ={e^{2pi m/w}},}  где  m=0,±1,±2,…{displaystyle m=0,pm 1,pm 2,dots } — произвольные целые числа.


7. Разлагая периодическую функцию  F(y,x1,…,xn){displaystyle F(y,x_{1},ldots ,x_{n})}  из предыдущего пункта в ряд Фурье, можно получить выражение
       A0(x1,…,xn)+∑Ak(x1,…,xn)cos⁡klog⁡Q(x1,…,xn)+Bk(x1,…,xn)sin⁡klog⁡Q(x1,…,xn),{displaystyle A_{0}(x_{1},ldots ,x_{n})+sum A_{k}(x_{1},ldots ,x_{n})cos klog Q(x_{1},ldots ,x_{n})+B_{k}(x_{1},ldots ,x_{n})sin klog Q(x_{1},ldots ,x_{n}),} 
   где  Ak(x1,…,xn){displaystyle A_{k}(x_{1},ldots ,x_{n})}  и  Bk(x1,…,xn){displaystyle B_{k}(x_{1},ldots ,x_{n})} — произвольные однородные функции с показателем однородности  q,{displaystyle q,}   Q(x1,…,xn){displaystyle Q(x_{1},ldots ,x_{n})} — произвольным образом фиксированная однородная функция с показателем однородности  w,{displaystyle w,}  а множество однородности  Λ={emY},{displaystyle Lambda ={e^{mY}},}  записано как  Λ={e2πm/w},{displaystyle Lambda ={e^{2pi m/w}},}  где  m{displaystyle m} — целые числа. Эта формула является самым общим способом записи для кусочно-непрерывных ограниченно однородных функций с порядком однородности  q{displaystyle q}  и множеством однородности  Λ={e2πm/w}.{displaystyle Lambda ={e^{2pi m/w}}.}  В частности, замена фиксированной функции  Q(x1,…,xn){displaystyle Q(x_{1},ldots ,x_{n})}  на набор произвольных однородных функций  Qk(x1,…,xn){displaystyle Q_{k}(x_{1},ldots ,x_{n})}  не прибавит данной формуле общности, но лишь разнообразит форму представления для одной и той же ограниченно однородной функции.

Библиография: Konrad Schlude, Bemerkung zu beschränkt homogenen Funktionen. — Elemente der Mathematik 54 (1999).

Источник информации: J.Pahikkala. Boundedly homogeneous function (PlanetMath.org).

Присоединённые однородные функции |

[раздел пока не написан]

Источник: И. М. Гельфанд, З. Я. Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

Взаимно однородные функции |

[раздел пока не написан]

Источник: И. М. Гельфанд, З. Я. Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

Некоторые функциональные уравнения, связанные с однородными функциями |

1. Пусть

 f(λx1,λx2,…,λxn)=C(λ)f(x1,x2,…,xn){displaystyle fleft(lambda x_{1},lambda x_{2},dots ,lambda x_{n}right)=Cleft(lambda right)fleft(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}right)} 

при некоторой функции  C(λ){displaystyle Cleft(lambda right)}  на интервале  λ∈[λ0−ε,λ0+ε].{displaystyle lambda in left[lambda _{0}-varepsilon ,lambda _{0}+varepsilon right].}  Какова должна быть функция  f(x1,x2,…,xn)?{displaystyle fleft(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}right)?} 

Решение. Продифференцируем обе стороны этого соотношения по  λ.{displaystyle lambda .}  Получим

 x1∂f(λx1,…,λxn)∂(λx1)+x2∂f(λx1,…,λxn)∂(λx2)+⋯+xn∂f(λx1,…,λxn)∂(λxn)=∂C(λ)∂λf(x1,…,xn).{displaystyle x_{1}{frac {partial f(lambda x_{1},dots ,lambda x_{n})}{partial (lambda x_{1})}}+x_{2}{frac {partial f(lambda x_{1},dots ,lambda x_{n})}{partial (lambda x_{2})}}+dots +x_{n}{frac {partial f(lambda x_{1},dots ,lambda x_{n})}{partial (lambda x_{n})}}={frac {partial Cleft(lambda right)}{partial lambda }}f(x_{1},dots ,x_{n}).} 

Продифференцируем обе стороны этого же соотношения по  xk,{displaystyle x_{k},}  получим соотношения

 λ∂f(λx1,…,λxn)∂(λxk)=C(λ)∂f(x1,…,xn)∂xk.{displaystyle lambda {frac {partial f(lambda x_{1},dots ,lambda x_{n})}{partial (lambda x_{k})}}=Cleft(lambda right){frac {partial f(x_{1},dots ,x_{n})}{partial x_{k}}}.} 

Отсюда

 1f(x1,…,xn)(x1∂f(x1,…,xn)∂x1+⋯+xn∂f(x1,…,xn)∂xn)=λC(λ)∂C(λ)∂λ.{displaystyle {frac {1}{f(x_{1},dots ,x_{n})}}left(x_{1}{frac {partial f(x_{1},dots ,x_{n})}{partial x_{1}}}+dots +x_{n}{frac {partial f(x_{1},dots ,x_{n})}{partial x_{n}}}right)={frac {lambda }{Cleft(lambda right)}}{frac {partial Cleft(lambda right)}{partial lambda }}.} 

Правая часть зависит только от  λ,{displaystyle lambda ,}  левая часть зависит только от  x1,x2,…,xn{displaystyle x_{1},x_{2},dots ,x_{n}}  Значит, они обе равны одной и той же константе, которую обозначим через  q.{displaystyle q.}  Из условия  λC(λ)∂C(λ)∂λ=q{displaystyle {frac {lambda }{Cleft(lambda right)}}{frac {partial Cleft(lambda right)}{partial lambda }}=q}  и условия  C(1)=1{displaystyle Cleft(1right)=1}  следует, что  C(λ)=λq.{displaystyle Cleft(lambda right)=lambda ^{q}.}  Следовательно,  f(x1,x2,…,xn){displaystyle fleft(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}right)} — однородная функция с параметром однородности q.{displaystyle q.}  Вырожденные случаи C(λ)≡0{displaystyle Cleft(lambda right)equiv 0}  и f(x1,x2,…,xn)≡0{displaystyle fleft(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}right)equiv 0}  рассматриваются отдельно и интереса не представляют.

Примечание. Не обязательно использовать условие  C(1)=1,{displaystyle Cleft(1right)=1,}  вообще говоря, изначально не заданное, а также принудительно рассматривать функцию  C(λ){displaystyle Cleft(lambda right)}  за пределами интервала  λ∈[λ0−ε,λ0+ε].{displaystyle lambda in left[lambda _{0}-varepsilon ,lambda _{0}+varepsilon right].} . Из равенства

 1f(x1∂f∂x1+x2∂f∂x2+⋯+xn∂f∂xn)=q{displaystyle {frac {1}{f}}left(x_{1}{frac {partial f}{partial x_{1}}}+x_{2}{frac {partial f}{partial x_{2}}}+dots +x_{n}{frac {partial f}{partial x_{n}}}right)=q} 

согласно теореме Эйлера об однородных функциях также следует, что  f(x1,x2,…,xn){displaystyle fleft(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}right)} — однородная функция с параметром однородности q.{displaystyle q.}  Отсюда, в частности, следует, что если соотношение однородности справедливо для некоторого интервала  λ∈[λ0−ε,λ0+ε],{displaystyle lambda in left[lambda _{0}-varepsilon ,lambda _{0}+varepsilon right],}  то оно справедливо при всех  λ>0.{displaystyle lambda >0.} 

2. Пусть

 f(λx1,λx2,…,λxn)=Cf(x1,x2,…,xn){displaystyle fleft(lambda x_{1},lambda x_{2},dots ,lambda x_{n}right)=Cfleft(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}right)} 

при некоторых фиксированных значениях  C≠0,{displaystyle Cneq 0,}   λ≠1{displaystyle lambda neq 1}  и произвольных  x1,x2,…,xn.{displaystyle x_{1},x_{2},dots ,x_{n}.}  Какова должна быть функция  f(x1,x2,…,xn)?{displaystyle fleft(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}right)?} 

Решение. Если  x1=0,{displaystyle x_{1}=0,}  то задача сводится к функциональному уравнению меньшей размерности

 f(0,λx2,…,λxn)=Cf(0,x2,…,xn),{displaystyle fleft(0,lambda x_{2},dots ,lambda x_{n}right)=Cfleft(0,x_{2},dots ,x_{n}right),} 

пока не сведётся к случаю  f(0,0,…,0)=Cf(0,0,…,0){displaystyle fleft(0,0,dots ,0right)=Cfleft(0,0,dots ,0right)}  с очевидным ответом f(0,0,…,0)=0.{displaystyle fleft(0,0,dots ,0right)=0.}  Поэтому далее можно рассматривать только случай  x1≠0.{displaystyle x_{1}neq 0.} 

Сделаем замену переменных  x1=y,{displaystyle x_{1}=y,}   x2=t2⋅y,{displaystyle x_{2}=t_{2}cdot y,}   x3=t3⋅y,{displaystyle x_{3}=t_{3}cdot y,}   xn=tn⋅y.{displaystyle x_{n}=t_{n}cdot y.}  Тогда  f(x1,x2,…,xn)→F(y,t2,…,tn){displaystyle f(x_{1},x_{2},dots ,x_{n})to F(y,t_{2},dots ,t_{n})}  и функциональное уравнение принимает вид

 F(λy,t2,…,tn)=CF(y,t2,…,tn).{displaystyle Fleft(lambda y,t_{2},dots ,t_{n}right)=CFleft(y,t_{2},dots ,t_{n}right).} 

Следует отдельно рассматривать случаи  C>0{displaystyle C>0}  и  C<0,{displaystyle C<0,}   λ>0{displaystyle lambda >0}  и  λ<0,{displaystyle lambda <0,}   y>0{displaystyle y>0}  и  y<0.{displaystyle y<0.}  Пусть  C>0,{displaystyle C>0,}   λ>0{displaystyle lambda >0}  и  y>0.{displaystyle y>0.}  Тогда после логарифмирования обеих частей равенства и замены  log⁡y→t,{displaystyle log yto t,}   log⁡F(y,…)→Φ(t,…){displaystyle log F(y,dots )to Phi (t,dots )}  получаем условие

 Φ(t+log⁡λ,…)=log⁡C+Φ(t,…),{displaystyle Phi left(t+log lambda ,dots right)=log C+Phi left(t,dots right),} 

откуда следует, что  Φ(t,…){displaystyle Phi left(t,dots right)}  имеет вид  Ω(t,…)+log⁡Clog⁡λt,{displaystyle Omega left(t,dots right)+{frac {log C}{log lambda }}t,}  где  Ω(t,…){displaystyle Omega left(t,dots right)} — функция, периодическая по переменной  t{displaystyle t}  с периодом  log⁡λ.{displaystyle log lambda .}  Обратное очевидно: функция

 f(x1,x2,…,xn)=Ω(log⁡x1,x2x1,…xnx1)exp⁡(log⁡C⋅log⁡x1log⁡λ),{displaystyle fleft(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}right)=Omega left(log x_{1},{frac {x_{2}}{x_{1}}},dots {frac {x_{n}}{x_{1}}}right)exp left({frac {log Ccdot log x_{1}}{log lambda }}right),} 

где  Ω(t,…){displaystyle Omega left(t,dots right)} — функция, периодическая по переменной  t{displaystyle t}  с периодом  log⁡λ,{displaystyle log lambda ,}  удовлетворяет требуемому функциональному соотношению для  x1>0.{displaystyle x_{1}>0.} 

Для полуоси  x1<0{displaystyle x_{1}<0}  используется замена  log⁡(−y)→t{displaystyle log(-y)to t}  и после аналогичных рассуждений получаем окончательный ответ:

а) если  x1>0{displaystyle x_{1}>0}  то  f(x1,x2,…,xn)=Ω+(log⁡(+x1),x2/x1,…xn/x1)exp⁡(log⁡C⋅log⁡(+x1)log⁡λ),{displaystyle fleft(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}right)=Omega _{+}left(log(+x_{1}),x_{2}/x_{1},dots x_{n}/x_{1}right)exp left({frac {log Ccdot log(+x_{1})}{log lambda }}right),} 

б) если  x1<0{displaystyle x_{1}<0}  то  f(x1,x2,…,xn)=Ω−(log⁡(−x1),x2/x1,…xn/x1)exp⁡(log⁡C⋅log⁡(−x1)log⁡λ),{displaystyle fleft(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}right)=Omega _{-}left(log(-x_{1}),x_{2}/x_{1},dots x_{n}/x_{1}right)exp left({frac {log Ccdot log(-x_{1})}{log lambda }}right),} 

или, в сокращённой форме

 f(x1,x2,…,xn)=Ω±(log⁡|x1|,x2x1,…xnx1)exp⁡(log⁡C⋅log⁡|x1|log⁡λ),{displaystyle fleft(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}right)=Omega _{pm }left(log |x_{1}|,{frac {x_{2}}{x_{1}}},dots {frac {x_{n}}{x_{1}}}right)exp left({frac {log Ccdot log |x_{1}|}{log lambda }}right),} 

где обозначение  Ω±(log⁡|x1|,…){displaystyle Omega _{pm }left(log |x_{1}|,dots right)}  подчёркивает, что при  x1>0{displaystyle x_{1}>0}  и при  x1<0{displaystyle x_{1}<0} это, вообще говоря, две разные периодические функции  Ω+(t,…){displaystyle Omega _{+}left(t,dots right)} и  Ω−(t,…){displaystyle Omega _{-}left(t,dots right)}, каждая с областью определения  t∈(−∞,+∞){displaystyle tin (-infty ,+infty )} и разными значениями для этой области, но при этом с одинаковым периодом. 

Случай  C<0,{displaystyle C<0,}   λ>0{displaystyle lambda >0}  упрощается тем, что из цепочки соотношений

 F(λ2y,t2,…,tn)=CF(λy,t2,…,tn)=C2F(y,t2,…,tn){displaystyle Fleft(lambda ^{2}y,t_{2},dots ,t_{n}right)=CFleft(lambda y,t_{2},dots ,t_{n}right)=C^{2}Fleft(y,t_{2},dots ,t_{n}right)} 

следует уже рассмотренный нами случай. Поэтому функция  f(x1,x2,…,xn){displaystyle fleft(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}right)}  может быть записана как

 f(x1,x2,…,xn)=Ω±(log⁡|x1|,x2x1,…xnx1)exp⁡(log⁡|C|⋅log⁡|x1|log⁡λ),{displaystyle fleft(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}right)=Omega _{pm }left(log |x_{1}|,{frac {x_{2}}{x_{1}}},dots {frac {x_{n}}{x_{1}}}right)exp left({frac {log |C|cdot log |x_{1}|}{log lambda }}right),} 

где  Ω±(t,…){displaystyle Omega _{pm }left(t,dots right)} — некоторая функция, периодическая по переменной  t{displaystyle t}  с периодом  2log⁡λ.{displaystyle 2log lambda .}  Подстановка этого выражения в исходное уравнение показывает, что  Ω±(t,…){displaystyle Omega _{pm }left(t,dots right)} — не просто периодическая функция с периодом  2log⁡λ,{displaystyle 2log lambda ,}  но анти-периодическая с периодом  log⁡λ:{displaystyle log lambda :} 

 Ω±(t+log⁡λ,…)=−Ω±(t,…){displaystyle Omega _{pm }left(t+log lambda ,dots right)=-Omega _{pm }left(t,dots right)} 

(очевидным образом анти-периодичность с периодом  log⁡λ{displaystyle log lambda }  влечёт за собой периодичность с периодом  2log⁡λ{displaystyle 2log lambda }). Обратное очевидно: указанная формула с анти-периодической функцией  Ω±(t,…){displaystyle Omega _{pm }left(t,dots right)}  удовлетворяет требуемому функциональному уравнению.

Случай  λ<0{displaystyle lambda <0}  имеет дополнительную особенность, что полуоси  y<0{displaystyle y<0}  и  y>0{displaystyle y>0}  влияют друг на друга. Рассмотрим случай y>0.{displaystyle y>0.}  Тогда из цепочки соотношений

 F(λ2y,t2,…,tn)=CF(λy,t2,…,tn)=C2F(y,t2,…,tn){displaystyle Fleft(lambda ^{2}y,t_{2},dots ,t_{n}right)=CFleft(lambda y,t_{2},dots ,t_{n}right)=C^{2}Fleft(y,t_{2},dots ,t_{n}right)} 

следует, что при  x1>0{displaystyle x_{1}>0}  функция  f(x1,x2,…,xn){displaystyle fleft(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}right)}  должна иметь вид

 f(x1,x2,…,xn)=Ω(log⁡|x1|,x2x1,…xnx1)exp⁡(log⁡|C|⋅log⁡|x1|log⁡|λ|),{displaystyle fleft(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}right)=Omega left(log |x_{1}|,{frac {x_{2}}{x_{1}}},dots {frac {x_{n}}{x_{1}}}right)exp left({frac {log |C|cdot log |x_{1}|}{log |lambda |}}right),} 

где  Ω(t,…){displaystyle Omega left(t,dots right)} — функция, периодическая по переменной  t{displaystyle t}  с периодом  2log⁡|λ|{displaystyle 2log |lambda |}  и областью определения  t∈(−∞,+∞).{displaystyle tin (-infty ,+infty ).}  Поскольку  λ<0,{displaystyle lambda <0,}  то каждой положительной точке  x1>0{displaystyle x_{1}>0}  взаимно-однозначно соответствует отрицательная точка  λx1<0{displaystyle lambda x_{1}<0}  со значением функции, равным  Cf(x1,x2,…,xn).{displaystyle Cfleft(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}right).} . В результате с учётом периодичности функции  Ω(t,…){displaystyle Omega left(t,dots right)}  функция  f(x1,x2,…,xn){displaystyle fleft(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}right)}  вычисляется как

а) при  x1>0:{displaystyle x_{1}>0:}   f(x1,x2,…,xn)=Ω(log⁡|x1|,x2x1,…xnx1)exp⁡(log⁡|C|⋅log⁡|x1|log⁡|λ|),{displaystyle f(x_{1},x_{2},dots ,x_{n})=Omega left(log |x_{1}|,{frac {x_{2}}{x_{1}}},dots {frac {x_{n}}{x_{1}}}right)exp left({frac {log |C|cdot log |x_{1}|}{log |lambda |}}right),} 

б) при  x1<0:{displaystyle x_{1}<0:}   f(x1,x2,…,xn)=sign(C)⋅Ω(log⁡|x1|+log⁡|λ|,x2x1,…xnx1)exp⁡(log⁡|C|⋅log⁡|x1|log⁡|λ|),{displaystyle f(x_{1},x_{2},dots ,x_{n})=sign(C)cdot Omega left(log |x_{1}|+log |lambda |,{frac {x_{2}}{x_{1}}},dots {frac {x_{n}}{x_{1}}}right)exp left({frac {log |C|cdot log |x_{1}|}{log |lambda |}}right),} 

где  Ω(t,…){displaystyle Omega left(t,dots right)} — функция, периодическая по переменной  t{displaystyle t}  с периодом  2log⁡|λ|.{displaystyle 2log |lambda |.}  Как легко проверить, определённая подобным образом функция  f(x1,x2,…,xn){displaystyle f(x_{1},x_{2},dots ,x_{n})}  для случая  λ<0{displaystyle lambda <0}  действительно удовлетворяет нужному функциональному уравнению как при  x1>0,{displaystyle x_{1}>0,}  так и при  x1<0.{displaystyle x_{1}<0.} 

Примечание. Если некоторая функция удовлетворяет указанному функциональному уравнению при некоторых  C0,λ0,{displaystyle C_{0},lambda _{0},}  то легко заметить, что она удовлетворяет этому же функциональному уравнению и при других наборах значений  (C,λ).{displaystyle left(C,lambda right).}  Так, для случая  C0>0,λ0>0{displaystyle C_{0}>0,lambda _{0}>0}  множеством таких пар будут  λk=λ0k/m,{displaystyle lambda _{k}=lambda _{0}^{k/m},}   Ck=C0k/m{displaystyle C_{k}=C_{0}^{k/m}}  при любых ненулевых целочисленных значениях  k=±1,±2,…,{displaystyle k=pm 1,pm 2,dots ,}  где целое число  m{displaystyle m}  выбрано так, чтобы величина  |log⁡λ0|/m{displaystyle |log lambda _{0}|/m}  была наименьшим положительным периодом для функции  Ω±(t,…).{displaystyle Omega _{pm }left(t,dots right).}  Введя обозначение  q=log⁡C0/log⁡λ0{displaystyle q=log C_{0}/log lambda _{0}}  так что  C0=λ0q,{displaystyle C_{0}=lambda _{0}^{q},}  получим условие  Ck≡(λk)q,{displaystyle C_{k}equiv left(lambda _{k}right)^{q},}  соответствующее ограниченно однородным функциям. Замена  exp⁡(log⁡C⋅log⁡x1log⁡λ)→x1q{displaystyle exp left({frac {log Ccdot log x_{1}}{log lambda }}right)to x_{1}^{q}}  приводит представление ограниченно однородных функций к привычному виду.

3. Дополнительные функциональные уравнения имеются в разделах «Присоединённые однородные функции» и «Взаимно однородные функции» этой статьи.

Однородные обобщённые функции |

Обобщённые функции или распределения определяются как линейные непрерывные функционалы, заданные на пространстве «достаточно хороших» функций. В случае однородных обобщённых функций в качестве «достаточно хороших» функций удобно использовать пространство  S{displaystyle mathbb {S} }  функций  φ(x)=φ(x1,x2,…,xn),{displaystyle varphi (x)=varphi (x_{1},x_{2},dots ,x_{n}),}  имеющих производные любого порядка и при  |x|→∞{displaystyle left|xright|to infty }  убывающих быстрее любой степени  1|x|.{displaystyle {frac {1}{left|xright|}}.}  При этом любой обычной функции f(x){displaystyle f(x)},  интегрируемой в любой конечной области, ставится в соответствие функционал

Tf[φ]=∫−∞+∞f(x)φ(x)dx,{displaystyle T_{f}left[varphi right]=int _{-infty }^{+infty }f(x)varphi (x)dx,}

определённый в пространстве  φ∈S{displaystyle varphi in mathbb {S} }  и являющийся очевидным образом линейным и непрерывным. Обобщённые функции позволяют упростить рассмотрение многих вопросов анализа (так, всякая обобщённая функция имеет производные любого порядка, допускает преобразование Фурье и т. д.), а также узаконить такие экзотические объекты, как  δ{displaystyle delta }-функция и её производные.

Для обычных интегрируемых функций  f(x1,…,xn),{displaystyle f(x_{1},dots ,x_{n}),}  являющихся однородными с показателем однородности  q,{displaystyle q,}  справедливо легко проверяемое тождество

Tf[φ(x1λ,x2λ,…,xnλ)]=λq+nTf[φ(x1,x2,…,xn)].(∗∗){displaystyle T_{f}left[varphi left({frac {x_{1}}{lambda }},{frac {x_{2}}{lambda }},dots ,{frac {x_{n}}{lambda }}right)right]=lambda ^{q+n}T_{f}left[varphi left(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}right)right].qquad qquad qquad (**)}

Данное тождество принимается за определение обобщённой однородной функции: однородная обобщённая функция с показателем однородности  q{displaystyle q}  (вообще говоря, комплексным) есть линейный непрерывный функционал, определённый в пространстве  φ∈S{displaystyle varphi in mathbb {S} }  и удовлетворяющий тождеству (**).

Похожим способом определяются присоединённые однородные обобщённые функции. Присоединённая однородная обобщённая функция  Tk[φ]{displaystyle T_{k}left[varphi right]}  порядка  k{displaystyle k}  с показателем однородности  q{displaystyle q} — это линейный непрерывный функционал, для всякого  λ>0{displaystyle lambda >0}  удовлетворяющий соотношению

Tk[φ(x1λ,x2λ,…,xnλ)]=λq+nTk[φ(x1,x2,…,xn)]+λq+nlog⁡λ⋅Tk−1[φ(x1,x2,…,xn)],{displaystyle T_{k}left[varphi left({frac {x_{1}}{lambda }},{frac {x_{2}}{lambda }},dots ,{frac {x_{n}}{lambda }}right)right]=lambda ^{q+n}T_{k}left[varphi left(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}right)right]+lambda ^{q+n}log lambda cdot T_{k-1}left[varphi left(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}right)right],}

где  Tk−1[φ]{displaystyle T_{k-1}left[varphi right]} — это некоторая присоединённая однородная обобщённая функция  (k−1){displaystyle (k-1)} —го порядка с показателем однородности  q.{displaystyle q.}  Присоединённая однородная обобщённая функция нулевого порядка  с показателем однородности  q{displaystyle q} — это обычная однородная обобщённая функция с показателем однородности  q.{displaystyle q.} 

Пример. Обобщённая функция  δ(x1,x2,…,xn){displaystyle delta (x_{1},x_{2},dots ,x_{n})} — однородная обобщённая функция с показателем однородности  (−n){displaystyle (-n)}  поскольку  δ[φ(x1/λ,x2/λ,…,xn/λ)]=φ(0,0,…,0)=δ[φ(x1,x2,…,xn)].{displaystyle delta [varphi ({x_{1}}/lambda ,{x_{2}}/lambda ,dots ,{x_{n}}/lambda )]=varphi (0,0,dots ,0)=delta [varphi (x_{1},x_{2},dots ,x_{n})].} 

Исследование однородных обобщённых функций позволяет придать содержательный смысл интегралам с сингулярными особенностями, в обычном смысле не интегрируемыми. Например, рассмотрим обобщённую функцию  Tq+[φ]=∫0+∞xqφ(x)dx.{displaystyle T_{q}^{+}left[varphi right]=int _{0}^{+infty }x^{q}varphi (x)dx.}  Этот функционал определён при  Re(q)>−1{displaystyle Re(q)>-1}  и, как легко проверить, является однородной обобщённой функцией с показателем однородности  q.{displaystyle q.}  Величину  Tq+{displaystyle T_{q}^{+}}  при фиксированном выборе пробной функции  φ(x){displaystyle varphi left(xright)}  можно рассматривать как функцию комплексного переменного  q{displaystyle q}  и, вообще говоря, аналитически продолжить её вне данного диапазона. А именно, правая и левая части равенства

 ∫0+∞xqφ(x)dx=∫1+∞xqφ(x)dx+∫01xq(φ(x)−∑k=0,nxkφ(k)(0)k!)dx+∑k=0,nφ(k)(0)k!(q+k+1),{displaystyle int _{0}^{+infty }x^{q}varphi (x)dx=int _{1}^{+infty }x^{q}varphi (x)dx+int _{0}^{1}x^{q}left(varphi (x)-sum _{k=0,n}x^{k}{frac {varphi ^{(k)}(0)}{k!}}right)dx+sum _{k=0,n}{frac {varphi ^{(k)}(0)}{k!(q+k+1)}},} 

аналитичны по переменной  q{displaystyle q}  и тождественно равны друг другу при  Re(q)>−1.{displaystyle Re(q)>-1.}  Однако правая часть равенства имеет смысл и аналитична также и при  Re(q)>−n.{displaystyle Re(q)>-n.}  В силу этого правая часть равенства — это аналитическое продолжение левой части равенства для  Re(q)>−n.{displaystyle Re(q)>-n.}  Как результат, равенство

 Tq+[φ(x)]=∫1+∞xqφ(x)dx+∫01xq(φ(x)−∑k=0,nxkφ(k)(0)k!)dx+∑k=0,nφ(k)(0)k!(q+k+1),{displaystyle T_{q}^{+}[varphi (x)]=int _{1}^{+infty }x^{q}varphi (x)dx+int _{0}^{1}x^{q}left(varphi (x)-sum _{k=0,n}x^{k}{frac {varphi ^{(k)}(0)}{k!}}right)dx+sum _{k=0,n}{frac {varphi ^{(k)}(0)}{k!(q+k+1)}},} 

задаёт линейный непрерывный функционал, являющийся расширением определённого ранее функционала  Tq+{displaystyle T_{q}^{+}}  вплоть до значений  Re(q)>−n.{displaystyle Re(q)>-n.}  Формулы для  Re(q)>−n{displaystyle Re(q)>-n}  и для  Re(q)>−m{displaystyle Re(q)>-m}  дают один и тот же результат при одинаковых значениях  q,{displaystyle q,}  при которых они обе имеют смысл: это определение непротиворечиво. Обобщённая функция  Tq+,{displaystyle T_{q}^{+},}  определённая теперь для всех  q,{displaystyle q,} , по-прежнему является однородной обобщённой функцией, поскольку соотношение однородности сохраняется при аналитическом продолжении.

С помощью  Tq+[φ]{displaystyle T_{q}^{+}left[varphi right]}  определятся регуляризированные значения интеграла  ∫0+∞xqφ(x)dx,{displaystyle int _{0}^{+infty }x^{q}varphi (x)dx,}  имеющие смысл при любых комплексных  q.{displaystyle q.}  Исключениями являются целочисленные значения  q=−1,−2,…,−n,…,{displaystyle q=-1,-2,dots ,-n,dots ,}  где регуляризированный интеграл является сингулярным: функционал  Tq+[φ]{displaystyle T_{q}^{+}left[varphi right]}  как функция переменной  q{displaystyle q}  в точке  q=−n{displaystyle q=-n}  имеет простой полюс с вычетом  φ(n−1)(0)/(n−1)!.{displaystyle varphi ^{(n-1)}(0)/(n-1)!.} 

По той же схеме может быть аналитически продолжена для  Re(q)≤−1{displaystyle Re(q)leq -1}  присоединённая однородная функция  Tp,q+[φ]=∫0+∞xqlogp⁡(x)φ(x)dx.{displaystyle T_{p,q}^{+}left[varphi right]=int _{0}^{+infty }x^{q}log ^{p}(x)varphi (x)dx.}  С её помощью определяются регуляризированные значения для интегралов  ∫0+∞xqlogp⁡(x)φ(x)dx,{displaystyle int _{0}^{+infty }x^{q}log ^{p}(x)varphi (x)dx,}  имеющие смысл при  Re(q)≤−1.{displaystyle Re(q)leq -1.} 

Аналогичным, но более сложным образом конструируются однородные обобщённые функции и присоединённые однородные обобщённые функции для случая  n{displaystyle n}  переменных. Подробности могут быть найдены в цитируемой здесь библиографии. Теория однородных обобщённых функций позволяет конструктивно осмыслить применительно к пространству обобщённых функций обычные функции, имеющие неинтегрируемые особенности — вычислять интегралы от таких функций, находить их преобразование Фурье и т. д.

Библиография: И. М. Гельфанд, З. Я. Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

См. также |

• Однородный многочлен


• Однородное уравнение


• Однородное дифференциальное уравнение


• Однородные координаты

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Добавить иллюстрации.