Gfrktyl

Бина́рная опера́ция (от лат. bi — два) — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат (то есть с арностью два).

Определение |

Пусть A,B,C{displaystyle A,;B,;C} — тройка непустых множеств. Бинарной операцией или двуме́стной опера́цией в паре A,B{displaystyle A,;B} со значениями в C{displaystyle C} называется отображение P→C{displaystyle Pto C}, где P⊂A×B{displaystyle Psubset Atimes B}

Если A=B=C{displaystyle A=B=C}, то действие называется внутренним, если A=C{displaystyle A=C} или B=C{displaystyle B=C} — внешним. В частности, любое внутреннее действие является внешним.

Замечание |

Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами (инфиксная форма записи). Например, для произвольной бинарной операции ∘{displaystyle circ } результат её применения к двум элементам x{displaystyle x} и y{displaystyle y} записывается в виде x∘y{displaystyle xcirc y}.

Это не значит, что не используются другие формы записи бинарных операций. Существуют и другие виды записи:

• префиксная (польская запись) — ∘xy{displaystyle circ ,x;y};


• постфиксная (обратная польская запись) — xy∘{displaystyle x;y,circ }.

Типы бинарных операций |

Коммутативная операция |

Бинарная операция ∘{displaystyle circ } называется коммутативной, если её результат не зависит от перестановки операндов, то есть

x∘y=y∘x,∀x,y∈M.{displaystyle xcirc y=ycirc x,quad forall x,;yin M.}

Ассоциативная операция |

Бинарная операция ∘{displaystyle circ } называется ассоциативной, если

(x∘y)∘z=x∘(y∘z),∀x,y,z∈M.{displaystyle (xcirc y)circ z=xcirc (ycirc z),quad forall x,;y,;zin M.}

Для ассоциативной операции ∘{displaystyle circ } результат вычисления x1∘x2∘…∘xn{displaystyle x_{1}circ x_{2}circ ldots circ x_{n}} не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение x1∘x2∘…∘xn{displaystyle x_{1}circ x_{2}circ ldots circ x_{n}} при n>2{displaystyle n>2} однозначно не определено.

Существует также более слабое, чем ассоциативность, свойство: альтернативная операция.

Примеры |

Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на поле вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

Записи |

Мультипликативная запись |

Если абстрактную бинарную операцию на M{displaystyle M} называют умноже́нием, то её результат для элементов x,y∈M{displaystyle x,;yin M} называют их произведе́нием и обозначают x⋅y{displaystyle xcdot y} или xy{displaystyle xy}. В этом случае нейтральный элемент e∈M{displaystyle ein M}, то есть элемент удовлетворяющий равенствам

x⋅e=e⋅x=x,∀x∈M,{displaystyle xcdot e=ecdot x=x,quad forall xin M,}

называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.

Аддитивная запись |

Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов x,y∈M{displaystyle x,;yin M} называют су́ммой и обозначают x+y{displaystyle x+y}. Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют нулевы́м элеме́нтом и пишут

x+0=0+x=x,∀x∈M.{displaystyle x+0=0+x=x,quad forall xin M.}

Обратная операция |

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Если операция обладает биективностью, то у неё существуют обратные операции. Для бинарной операции может быть до двух обратных операций (левая и правая), в случае коммутативной операции — они совпадают.

Теорема 1

Для любой бинарной операции, существует не более одного нейтрального элемента, либо эти нейтральные элементы равны

Теорема 2

Если бинарная операция ассоциативна, то для каждого элемента существует не более одного обратного

См. также |

• Арность


• Унарная операция


• Тернарная операция

Литература |

• 
  Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних и учебных заведений. — М.: Наука, 1988. — 430 с. — ISBN 5-02-013792-8.