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Pseudosfera

In geometria, la pseudosfera è una superficie di rivoluzione generata dalla rotazione della trattrice intorno al suo asintoto. È chiamata pseudosfera perché la sua curvatura è costante in ogni punto e opposta a quella di una sfera di raggio R:

k=−1R2.{displaystyle k=-{frac {1}{R^{2}}}.}

Tale superficie fu proposta da Eugenio Beltrami come modello di geometria iperbolica nel 1868. Essa, infatti, localmente soddisfa gli assiomi della geometria iperbolica, allo stesso modo di come la superficie di un cilindro localmente è un modello equivalente ad un piano euclideo.

Una variante di tale superficie è la superficie di Dini.

Parametrizzazione |

La sua equazione parametrica è:

x(t,a)=sin⁡(t)sin⁡(a){displaystyle x(t,a)=sin(t)sin(a)}

y(t,a)=sin⁡(t)cos⁡(a){displaystyle y(t,a)=sin(t)cos(a)}

z(t)=cos⁡(t)+ln⁡(tan⁡(t/2)){displaystyle z(t)=cos(t)+ln(tan(t/2))}

oppure:

x(v,u)=sech⁡(v)sin⁡(u){displaystyle x(v,u)=operatorname {sech} (v)sin(u)}

y(v,u)=sech⁡(v)cos⁡(u){displaystyle y(v,u)=operatorname {sech} (v)cos(u)}

z(v)=v−tanh⁡(v){displaystyle z(v)=v-tanh(v){frac {}{}}}

Area |

L'elemento infinitesimo di area è:

dA=sech⁡(v)tanh⁡(v)dudv{displaystyle dA=operatorname {sech} (v)tanh(v)dudv}

da cui:

A=2∫02π∫0∞sech⁡vtanh⁡vdudv=4π{displaystyle A=2int _{0}^{2pi }int _{0}^{infty }operatorname {sech} vtanh vdudv=4pi }

e quindi la misura della superficie di una pseudosfera è uguale a quella di una sfera (R=1).

Volume |

Pseudosfera

V=π∫−∞∞sech2⁡(v)tanh2⁡(v)dv=23π{displaystyle V=pi int _{-infty }^{infty }operatorname {sech} ^{2}(v)tanh ^{2}(v)dv={frac {2}{3}}pi }

Metrica |

L'equazione delle geodetiche di una pseudosfera è:

cosh⁡(v)2+(u+c)2=k2{displaystyle cosh(v)^{2}+(u+c)^{2}=k^{2}}

Curvatura |

La curvatura gaussiana è data da:

K=−112{displaystyle K=-{frac {1}{1^{2}}}}

mentre la curvatura media è

H=12(sinh⁡v−cosh⁡v){displaystyle H={frac {1}{2}}left(sinh v-cosh vright)}

Voci correlate |

• Trattrice (geometria)


• Eugenio Beltrami


• Superficie di Dini

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