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Disambiguazione – Se stai cercando la figura retorica (lingua italiana), vedi Ellissi.

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Ellisse - a indica la lunghezza del semiasse maggiore, b quella del semiasse minore, F₁ ed F₂ identificano i due fuochi, c indica la distanza di uno qualunque dei fuochi dal centro e infine la somma F1X¯+XF2¯{displaystyle scriptstyle {mathbf {{overline {F_{1}X}}+{overline {XF_{2}}}}}} è costante per definizione di ellisse e risulta pari a 2a, lunghezza dell'asse maggiore.

Tipi di sezioni coniche:
1. Parabola
2. Circonferenza ed ellisse
3. Iperbole

In geometria, un'ellisse (dal greco ἔλλειψις, col significato di "mancanza")^[1] è una curva piana ottenuta intersecando un cono con un piano in modo da produrre una curva chiusa.

Affinché la sezione conica produca una curva chiusa, l'inclinazione del piano deve essere superiore a quella della generatrice del cono rispetto al suo asse. Per contro, le due sezioni coniche ottenute con piani aventi inclinazione pari o inferiore a quella della retta generatrice rispetto all'asse del cono danno vita ad altri due tipi di curve che sono però aperte e illimitate: la parabola e l'iperbole.

La circonferenza è un caso speciale di ellisse che si ottiene quando l'intersezione viene fatta con un piano ortogonale all'asse del cono.

Un'ellisse è anche il luogo geometrico dei punti del piano per i quali la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi rimane costante.

L'ellisse può essere anche una proiezione verticale su un piano orizzontale di una circonferenza appartenente ad un piano inclinato: se il piano inclinato forma un angolo φ{displaystyle varphi } con il piano orizzontale, la proiezione verticale della circonferenza è un'ellisse di eccentricità sin⁡φ{displaystyle sin varphi }.

Dopo la circonferenza, si tratta infine della più semplice tra le figure di Lissajous, ottenuta dalla composizione dei due moti verticale e orizzontale di tipo sinusoidale della stessa frequenza.

In base alle leggi di Keplero, l'orbita di un pianeta è un'ellisse con il Sole che ne occupa uno dei due fuochi.

Elementi di una ellisse |

Dimostrazione geometrica del fatto che la somma, costante per definizione, delle distanze di un punto qualsiasi dell'ellisse dai due fuochi risulta pari a 2a, lunghezza dell'asse maggiore. Essendo costante, per definizione, la somma suddetta e questo indipendentemente dal punto preso in considerazione, si può decidere di scegliere quello che si ritiene più conveniente ai fini della dimostrazione. Se in particolare si sceglie il punto B si nota come la somma F1B¯+F2B¯{displaystyle scriptstyle {mathbf {{overline {F_{1}B}}+{overline {F_{2}B}}} }} sia pari proprio alla lunghezza 2a dell'asse maggiore.

L'ellisse è una curva simile a un cerchio allungato in una direzione: è un esempio di sezione conica e può essere definita come il luogo dei punti del piano per i quali la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, rimane costante. Se i due fuochi coincidono si ha una circonferenza, che può quindi considerarsi un caso particolare di ellisse (ad eccentricità nulla).

È una curva simmetrica sia rispetto all'asse delle ascisse, sia rispetto all'asse delle ordinate, sia rispetto al centro. La distanza tra i punti antipodali dell'ellisse, vale a dire tra punti simmetrici rispetto al suo centro, è massima lungo l'asse maggiore (che contiene anche i due fuochi) ed è minima lungo l'asse minore perpendicolare a quello maggiore. Il semiasse maggiore è una delle due metà dell'asse maggiore: parte dal centro, passa attraverso un fuoco e arriva all'ellisse. Analogamente il semiasse minore è metà dell'asse minore. I due assi sono per l'ellisse l'equivalente del diametro per la circonferenza, mentre i due semiassi sono l'equivalente del raggio.

La dimensione e la forma di un'ellisse sono determinate da due costanti reali positive, dette convenzionalmente a{displaystyle a} e b{displaystyle b}. La costante maggiore è la lunghezza del semiasse maggiore mentre la costante minore quella del semiasse minore.

Equazioni |

Relazione tra i parametri a, b e c di un'ellisse. Se scegliamo in particolare il punto C, dovendo essere costante e pari a 2a la somma delle distanze dei due fuochi da C ed essendoci simmetria rispetto al punto C, ciascuna delle due distanze sarà pari ad a. Applicando il teorema di Pitagora si ricava che a2=b2+c2{displaystyle scriptstyle {a^{2}=b^{2}+c^{2}}}

L'equazione dell'ellisse si trova eguagliando la somma delle distanze fra i due fuochi F1(x1;y1){displaystyle F_{1}(x_{1};y_{1})} ed F2(x2;y2){displaystyle F_{2}(x_{2};y_{2})} e un punto generico P(x;y){displaystyle P(x;y)} con il doppio del semiasse maggiore:

PF1¯+PF2¯=2a,{displaystyle {overline {PF_{1}}}+{overline {PF_{2}}}=2a,}

e questo equivale a:

(x−x1)2+(y−y1)2+(x−x2)2+(y−y2)2=2a.{displaystyle {sqrt {(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}}+{sqrt {(x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}}}=2a.}

Per trovare l'equazione canonica o normale dell'ellisse, con centro nell'origine e i fuochi sull'asse delle x{displaystyle x} (cioè a>b{displaystyle a>b}), sostituiamo y1=0{displaystyle y_{1}=0}, y2=0{displaystyle y_{2}=0}, x1=−c{displaystyle x_{1}=-c}, x2=c{displaystyle x_{2}=c}, c=a2−b2{displaystyle c={sqrt {a^{2}-b^{2}}}}. Dopo alcuni passaggi si ricava che l'ellisse centrata nell'origine di un sistema di assi cartesiani con l'asse maggiore posto lungo l'asse delle ascisse è definita dall'equazione:

x2a2+y2b2=1.{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}

La stessa ellisse è rappresentata anche dall'equazione parametrica:

{x=acos⁡ty=bsin⁡t0≤t<2π{displaystyle {begin{cases}x=acos t\y=bsin t\0leq t<2pi end{cases}}}

che fa uso delle funzioni trigonometriche seno e coseno.

Eccentricità |

L'eccentricità e{displaystyle e} di un'ellisse è compresa tra 0{displaystyle 0} e 1{displaystyle 1} ed è il rapporto della distanza tra i due fuochi F1=(−c;0){displaystyle F_{1}=(-c;0)} ed F2=(+c;0){displaystyle F_{2}=(+c;0)} e la lunghezza dell'asse maggiore 2a{displaystyle 2a}:

e=ca=1−(ba)2.{displaystyle e={frac {c}{a}}={sqrt {1-left({frac {b}{a}}right)^{2}}}.}

L'eccentricità rende conto della forma più o meno schiacciata dell'ellisse: quando è uguale a 0{displaystyle 0}, i due fuochi coincidono e l'ellisse degenera in una circonferenza di raggio a{displaystyle a}. Facendo tendere l'eccentricità a 1{displaystyle 1}, l'ellisse si schiaccia sempre più e quando assume il valore unitario essa degenera in un segmento lungo 2a{displaystyle 2a} percorso due volte, quindi la lunghezza dell'ellisse è uguale a 4a{displaystyle 4a}.

Semilato retto |

Il semilato retto di un'ellisse, solitamente denotato dalla lettera l{displaystyle l}, è la distanza tra ciascuno dei fuochi dell'ellisse e l'ellisse stessa misurata lungo una linea perpendicolare all'asse maggiore. È legato ad a{displaystyle a} e b{displaystyle b} dalla formula

l=b2a.{displaystyle l={frac {b^{2}}{a}}.}

Corde e diametri |

Come per le altre coniche, anche per l'ellisse vale la proprietà seguente:

i punti medi di un fascio di corde parallele sono allineati.

Il segmento che congiunge i punti medi di un fascio di corde parallele prende il nome di diametro dell'ellisse. I punti medi delle corde parallele ad un diametro dell'ellisse costituiscono il diametro coniugato al diametro dato. Due diametri coniugati si intersecano nel centro dell'ellisse. Gli assi di simmetria dell'ellisse sono gli unici diametri coniugati perpendicolari tra loro. La retta tangente ad un'ellisse nell'estremo di un diametro è sempre parallela al diametro coniugato.

Equazione in coordinate polari relative a uno dei fuochi |

Coordinate polari con centro in uno dei fuochi.

In coordinate polari, un'ellisse con un fuoco nell'origine e con la coordinata angolare θ{displaystyle theta } misurata a partire dall'asse maggiore è rappresentata dall'equazione:

r(θ)=l1−ecos⁡θ,{displaystyle r(theta )={frac {l}{1-ecos theta }},}

dove l{displaystyle l} denota il semilato retto e la coordinata angolare θ{displaystyle theta } è l'angolo che la retta r passante per F1{displaystyle F_{1}} forma con l'asse maggiore (vedere figura a lato).

Se si considera la retta r{displaystyle r} passante per il fuoco F2{displaystyle F_{2}} e la coordinata angolare θ{displaystyle theta } è l'angolo che la retta r{displaystyle r} passante per F2{displaystyle F_{2}} forma con l'asse maggiore, l'equazione diviene:

r(θ)=l1+ecos⁡θ.{displaystyle r(theta )={frac {l}{1+ecos theta }}.}

Area |

L'area racchiusa da un'ellisse è data da

A=πab.{displaystyle A=pi ab.}

Tangente a un'ellisse in un suo punto: formula dello sdoppiamento |

Tangente a un'ellisse in un suo punto P₀(x₀,y₀).

Coefficiente angolare: m=−b2x0a2y0{displaystyle scriptstyle {m=-{frac {b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}}}}
Equazione: xx0a2+yy0b2=1{displaystyle scriptstyle {{frac {{xx}_{0}}{a^{2}}}+{frac {{yy}_{0}}{b^{2}}}=1}}

L'equazione della retta tangente all'ellisse in un suo punto P0{displaystyle P_{0}} è:

xx0a2+yy0b2=1.{displaystyle {frac {{xx}_{0}}{a^{2}}}+{frac {{yy}_{0}}{b^{2}}}=1.}

Il suo coefficiente angolare è dato da:

m=−b2x0a2y0.{displaystyle m=-{frac {b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}}.}

Dimostrazione algebrica |

Scriviamo un sistema di tre equazioni: la prima è l'equazione dell'ellisse, la seconda impone l'appartenenza all'ellisse del punto P0(x0,y0){displaystyle P_{0}(x_{0},y_{0})}, la terza impone il passaggio della tangente per il punto P0{displaystyle P_{0}} con inclinazione m{displaystyle m} da determinare:

{x2a2+y2b2=1x02a2+y02b2=1y−y0=m(x−x0){displaystyle {begin{cases}{dfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{dfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\{dfrac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}+{dfrac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1\y-y_{0}=m(x-x_{0})end{cases}}}

Nella prima e seconda equazione i secondi membri sono uguali a 1{displaystyle 1} e quindi anche i primi membri saranno tra essi uguali:

{x2a2+y2b2=x02a2+y02b2y−y0=m(x−x0){displaystyle {begin{cases}{dfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{dfrac {y^{2}}{b^{2}}}={dfrac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}+{dfrac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}\y-y_{0}=m(x-x_{0})end{cases}}}

{(x−x0)(x+x0)a2+(y−y0)(y+y0)b2=0y−y0=m(x−x0).{displaystyle {begin{cases}{dfrac {left(x-x_{0}right)left(x+x_{0}right)}{a^{2}}}+{dfrac {left(y-y_{0}right)left(y+y_{0}right)}{b^{2}}}=0\y-y_{0}=m(x-x_{0}).end{cases}}}

Consideriamo l'equazione della tangente:

y−y0=m(x−x0),{displaystyle y-y_{0}=m(x-x_{0}),}

y=m(x−x0)+y0.{displaystyle y=m(x-x_{0})+y_{0}.}

Sostituendo nella prima equazione:

{(x−x0)(x+x0)a2+[m(x−x0][m(x−x0)+2y0]b2=0y−y0=m(x−x0){displaystyle {begin{cases}{dfrac {left(x-x_{0}right)left(x+x_{0}right)}{a^{2}}}+{dfrac {left[m(x-x_{0}right]left[m(x-x_{0})+2y_{0}right]}{b^{2}}}=0\y-y_{0}=m(x-x_{0})end{cases}}}

{(x−x0)(x+x0)a2+m2(x−x0)2+2y0m(x−x0)b2=0y−y0=m(x−x0){displaystyle {begin{cases}{dfrac {left(x-x_{0}right)left(x+x_{0}right)}{a^{2}}}+{dfrac {m^{2}(x-x_{0})^{2}+2y_{0}m(x-x_{0})}{b^{2}}}=0\y-y_{0}=m(x-x_{0})end{cases}}}

{(x−x0)((x+x0)a2+m2(x−x0)+2y0mb2)=0y−y0=m(x−x0){displaystyle {begin{cases}(x-x_{0})left({dfrac {left(x+x_{0}right)}{a^{2}}}+{dfrac {m^{2}(x-x_{0})+2y_{0}m}{b^{2}}}right)=0\y-y_{0}=m(x-x_{0})end{cases}}}

Per la legge di annullamento del prodotto:

x−x0=0,{displaystyle x-x_{0}=0,}

x=x0.{displaystyle x=x_{0}.}

Facilmente verificabile poiché il punto appartiene all'ellisse.

Nel secondo fattore invece:

(x+x0)a2+m2(x−x0)+2y0mb2=0{displaystyle {dfrac {left(x+x_{0}right)}{a^{2}}}+{dfrac {m^{2}(x-x_{0})+2y_{0}m}{b^{2}}}=0}

Poiché (x−x0)=0{displaystyle (x-x_{0})=0} e x=x0{displaystyle x=x_{0}}:

2x0a2+2y0mb2=0{displaystyle {dfrac {{2x}_{0}}{a^{2}}}+{dfrac {{2y}_{0}m}{b^{2}}}=0}

m=−b2x0a2y0{displaystyle {m=-{dfrac {b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}}}} (coefficiente angolare della retta tangente nel punto P0{displaystyle P_{0}})

Sostituiamo la pendenza m nell'equazione della retta:

y−y0=−b2x0a2y0(x−x0){displaystyle y-y_{0}=-{dfrac {b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}}(x-x_{0})}

a2y0y−a2y02=b2x02−b2x0x{displaystyle a^{2}y_{0}y-a^{2}y_{0}^{2}=b^{2}x_{0}^{2}-b^{2}x_{0}x}

xx0a2+yy0b2=x02a2+y02b2.{displaystyle {{dfrac {{xx}_{0}}{a^{2}}}+{dfrac {{yy}_{0}}{b^{2}}}={dfrac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}+{dfrac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}}.}

Per ipotesi nel sistema

x02a2+y02b2=1.{displaystyle {{dfrac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}+{dfrac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1}.}

Quindi:

xx0a2+yy0b2=1.{displaystyle {{dfrac {{xx}_{0}}{a^{2}}}+{dfrac {{yy}_{0}}{b^{2}}}=1}.}

Dimostrazione differenziale |

Una dimostrazione alternativa può essere fatta ricorrendo alla derivata della "funzione" ellisse^[2]x2a2+y2b2=1{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} nel punto P0{displaystyle P_{0}}: basta infatti ricordare che la derivata di una funzione in un suo punto coincide con il coefficiente angolare della retta tangente nel punto stesso. Effettuando quindi la derivata rispetto a x{displaystyle x} dell'equazione dell'ellisse otteniamo:

2xa2+2yy′b2=0.{displaystyle {frac {2x}{a^{2}}}+{frac {2yy'}{b^{2}}}=0.}

Poiché y′{displaystyle y'}, come detto, coincide con la tangente, ovvero con il coefficiente angolare m{displaystyle m}, si ottiene

m=y′=−b2xa2y,{displaystyle m=y'=-{frac {b^{2}x}{a^{2}y}},}

che calcolata nel punto P0(x0,y0){displaystyle P_{0}(x_{0},y_{0})} fornisce:

m=−b2x0a2y0.{displaystyle {m=-{frac {b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}}}.}

Proprietà tangenziale |

Una tangente all'ellisse in un suo punto P{displaystyle P} forma angoli uguali con le rette passanti per P{displaystyle P} e per ciascuno dei due fuochi.

Per dimostrare questa proprietà si può ricorrere al teorema di Erone in base al quale data una retta r{displaystyle r} e due punti Q{displaystyle Q} ed R{displaystyle R} ad essa esterni, il punto P{displaystyle P} della retta r{displaystyle r} che minimizza la somma PQ¯+PR¯{displaystyle {overline {PQ}}+{overline {PR}}} è quello per il quale i segmenti PQ¯{displaystyle {overline {PQ}}} e PR¯{displaystyle {overline {PR}}} formano angoli uguali con la retta r{displaystyle r}.

Consideriamo a tale scopo un'ellisse con fuochi Q{displaystyle Q} ed R{displaystyle R}: un suo qualunque punto P{displaystyle P} soddisfa la condizione

PQ¯+PR¯=2a.{displaystyle {overline {PQ}}+{overline {PR}}=2a.}

Si tenga inoltre presente che per un qualunque punto S{displaystyle S} interno all'ellisse vale la condizione

SQ¯+SR¯<2a.{displaystyle {overline {SQ}}+{overline {SR}}<2a.}

Consideriamo ora una retta passante per un punto P{displaystyle P} dell'ellisse tale da formare angoli uguali con i segmenti PQ¯{displaystyle {overline {PQ}}} e PR¯{displaystyle {overline {PR}}}: per il teorema di Erone il punto P{displaystyle P} è il punto della retta che rende minima la somma PQ¯+PR¯{displaystyle {overline {PQ}}+{overline {PR}}}. Ciò implica che la retta deve essere tangente all'ellisse: infatti se così non fosse, la retta entrerebbe dentro l'ellisse e detto S{displaystyle S} un suo punto ad essa interno varrebbe la condizione SQ¯+SR¯<2a{displaystyle scriptstyle {overline {SQ}}+{overline {SR}}<2a} in contrasto con il teorema di Erone per il quale in P{displaystyle P} e non in S{displaystyle S} si sarebbe dovuta registrare la minima somma. Resta così dimostrata l'affermazione iniziale.

Vediamo alcune conseguenze di questo enunciato.

In un tavolo da biliardo a forma di ellisse una palla lanciata da uno dei due fuochi verrà riflessa dal bordo e passerà necessariamente per l'altro fuoco. La stessa cosa si verificherà in uno specchio concavo a forma di ellisse nel quale tutti i raggi luminosi emessi da uno dei due fuochi passeranno necessariamente per l'altro fuoco indipendentemente dalla direzione seguita: da qui deriva il nome di fuochi dati a questi due particolari punti dell'ellisse. Analogamente, in una camera a forma di ellisse le onde sonore che partono da uno dei due fuochi raggiungeranno l'altro da tutte le direzioni e poiché la distanza percorsa nel tragitto da un fuoco all'altro è sempre la stessa le onde arriveranno tutte sincronizzate: questo spiega perché due persone poste nei due fuochi possono comunicare facilmente anche da lunghe distanze, mentre due persone, anche notevolmente più vicine tra loro ma non situate nei fuochi, potrebbero non sentire le parole dell'altra.

Tangente a un'ellisse passante per un suo punto |

Costruzione della retta tangente all'ellisse nel suo punto P

Si consideri una ellisse di fuochi F1{displaystyle F_{1}}, F1{displaystyle F_{1}} e asse maggiore 2a{displaystyle 2a} e un punto P{displaystyle P} appartenente all'ellisse.
Esistono due metodi grafici per tracciare la tangente in un punto P{displaystyle P} dell'ellisse.^[3]

Primo metodo |

Tracciare i segmenti PF1{displaystyle PF_{1}} e PF2{displaystyle PF_{2}}. Tracciare la bisettrice s{displaystyle s} dell'angolo F1PF2^{displaystyle {widehat {F_{1}PF_{2}}}}. Tracciare la retta t{displaystyle t} perpendicolare a s nel punto P{displaystyle P}. La retta t{displaystyle t} è la retta tangente cercata.

Basta dimostrare che tale retta soddisfa la proprietà tangenziale precedentemente descritta. Infatti gli angoli β2{displaystyle beta _{2}} e β3{displaystyle beta _{3}} sono congruenti in quanto differenza di angoli rispettivamente congruenti (ai due angoli retti sono sottratti gli angoli α1{displaystyle alpha _{1}} e α2{displaystyle alpha _{2}} congruenti per la bisettrice)

Secondo metodo |

Tracciare la circonferenza di centro F1{displaystyle F_{1}} e raggio 2a{displaystyle 2a}. Tracciare il segmento F1P{displaystyle F_{1}P} e prolungarlo fino ad incontrare il punto E{displaystyle E} sulla circonferenza. Tracciare PF2{displaystyle PF_{2}}. Tracciare il segmento EF2{displaystyle EF_{2}}. Fissare il punto medio M{displaystyle M} di EF2{displaystyle EF_{2}}. La retta t{displaystyle t} passante per i punti M{displaystyle M} e P{displaystyle P} è la retta tangente cercata.

È possibile infatti dimostrare che tale retta soddisfa la proprietà tangenziale precedentemente descritta. PF2=PE{displaystyle PF_{2}=PE} in quanto differenza di segmenti congruenti (EP+PF1=2a{displaystyle EP+PF_{1}=2a} e PF1+PF2=2a{displaystyle PF_{1}+PF_{2}=2a}. Quindi il triangolo PEF2{displaystyle PEF_{2}} è isoscele e la mediana PM{displaystyle PM} relativa alla base EF2{displaystyle EF_{2}} è anche bisettrice e dunque gli angoli β1{displaystyle beta _{1}} e β2{displaystyle beta _{2}} sono congruenti. D'altra parte gli angoli β1{displaystyle beta _{1}} e β3{displaystyle beta _{3}} sono congruenti in quanto opposti al vertice. E quindi β2{displaystyle beta _{2}} e β3{displaystyle beta _{3}} sono congruenti per la proprietà transitiva.

Tangenti a un'ellisse passante per un punto esterno |

Tangenti a un'ellisse centrata nell'origine condotte da un punto P(x_p,y_p) ad essa esterno.

I coefficienti angolari delle due rette si ottengono risolvendo l'equazione di secondo grado:
(a2−xp2)m2+2xpypm+b2−yp2=0{displaystyle scriptstyle {left(a^{2}-x_{p}^{2}right)m^{2}+2x_{p}y_{p}m+b^{2}-y_{p}^{2}=0}}

I coefficienti angolari delle tangenti a un'ellisse Γ{displaystyle Gamma }: (x−xC)2a2+(y−yC)2b2=1{displaystyle {frac {(x-x_{C})^{2}}{a^{2}}}+{frac {(y-y_{C})^{2}}{b^{2}}}=1} condotte da un punto P(xP,yP){displaystyle P(x_{P},y_{P})} ad essa esterno si ricavano dalla risoluzione della seguente equazione di secondo grado:

(a2−xi2)m2+2xiyim+b2−yi2=0,{displaystyle left(a^{2}-x_{i}^{2}right)m^{2}+2x_{i}y_{i}m+b^{2}-y_{i}^{2}=0,}

con xi=xP−xC{displaystyle x_{i}=x_{P}-x_{C}} e yi=yP−yC{displaystyle y_{i}=y_{P}-y_{C}}.

Dimostrazione |

Si traslano l'ellisse Γ{displaystyle Gamma } e il punto P{displaystyle P} di un vettore v=(−xC,−yC){displaystyle v=(-x_{C},-y_{C})}, in modo da ottenere l'ellisse Γi{displaystyle Gamma _{i}}: x2a2+y2b2=1{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} e il punto Pi(xi,xi){displaystyle P_{i}(x_{i},x_{i})}, con xi=xP−xC{displaystyle x_{i}=x_{P}-x_{C}} e yi=yP−yC{displaystyle y_{i}=y_{P}-y_{C}}. Sapendo che nella traslazione si conserva anche il parallelismo, allora i coefficienti angolari delle tangenti a Γ{displaystyle Gamma } passanti per P{displaystyle P} sono uguali a quelli delle tangenti a Γi{displaystyle Gamma _{i}} passanti per il punto Pi{displaystyle P_{i}}. Si scrive il sistema di due equazioni con la prima relativa all'equazione dell'ellisse e la seconda relativa al fascio di rette passanti per il punto Pi{displaystyle P_{i}}

{x2a2+y2b2=1y−yi=m(x−xi){displaystyle {begin{cases}{dfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{dfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\y-y_{i}=m(x-x_{i})end{cases}}}

{x2a2+y2b2=1y=mx−mxi+ yi{displaystyle {begin{cases}{dfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{dfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\y=mx-{mx}_{i}+ y_{i}end{cases}}}

x2a2+m2x2+m2xi2+yi2−2m2xi x+2myix−2mxiyib2−1=0{displaystyle {dfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{dfrac {m^{2}x^{2}+m^{2}x_{i}^{2}+y_{i}^{2}-2m^{2}x_{i }x+2my_{i}x-2mx_{i}y_{i}}{b^{2}}}-1=0}

(1a2+m2b2)x2+(−2xim2b2+2yimb2)x+(xi2m2b2−2xiyimb2+yi2−b2b2)=0.{displaystyle left({dfrac {1}{a^{2}}}+{dfrac {m^{2}}{b^{2}}}right)x^{2}+left(-{dfrac {2x_{i}m^{2}}{b^{2}}}+{dfrac {2y_{i}m}{b^{2}}}right)x+left({dfrac {x_{i}^{2}m^{2}}{b^{2}}}-{dfrac {2x_{i}y_{i}m}{b^{2}}}+{dfrac {y_{i}^{2}-b^{2}}{b^{2}}}right)=0.}

Si impone la condizione di tangenza, ovvero che il discriminante Δ{displaystyle Delta } si annulli:

(−2xim2b2+2yimb2)2−4(1a2+m2b2)(xi2m2b2−2xiyimb2+yi2−b2b2)=0{displaystyle {left(-{dfrac {2x_{i}m^{2}}{b^{2}}}+{dfrac {2y_{i}m}{b^{2}}}right)}^{2}-4left({dfrac {1}{a^{2}}}+{dfrac {m^{2}}{b^{2}}}right)left({dfrac {x_{i}^{2}m^{2}}{b^{2}}}-{dfrac {2x_{i}y_{i}m}{b^{2}}}+{dfrac {y_{i}^{2}-b^{2}}{b^{2}}}right)=0}

4m4xi2b4−8m3xiyib4+4m2yi2b4−4(xi2m2a2b2−2xiyima2b2+yi2−b2a2b2+xi2m4b4−2xiyim3b4+(yi2−b2)m2b4)=0{displaystyle {cancel {dfrac {4m^{4}x_{i}^{2}}{b^{4}}}}-{cancel {dfrac {8m^{3}x_{i}y_{i}}{b^{4}}}}+{dfrac {4m^{2}y_{i}^{2}}{b^{4}}}-4left({dfrac {x_{i}^{2}m^{2}}{a^{2}b^{2}}}-{dfrac {2x_{i}y_{i}m}{a^{2}b^{2}}}+{dfrac {y_{i}^{2}-b^{2}}{a^{2}b^{2}}}+{cancel {dfrac {x_{i}^{2}m^{4}}{b^{4}}}}-{cancel {dfrac {2x_{i}y_{i}m^{3}}{b^{4}}}}+{dfrac {left(y_{i}^{2}-b^{2}right)m^{2}}{b^{4}}}right)=0}

4yi2m2b4−4xi2m2a2b2−4(yi2−b2)m2b4+8xiyima2b2−4(yi2−b2)a2b2=0{displaystyle {dfrac {4y_{i}^{2}m^{2}}{b^{4}}}-{dfrac {4x_{i}^{2}m^{2}}{a^{2}b^{2}}}-{dfrac {4left(y_{i}^{2}-b^{2}right)m^{2}}{b^{4}}}+{dfrac {8x_{i}y_{i}m}{a^{2}b^{2}}}-{dfrac {4left(y_{i}^{2}-b^{2}right)}{a^{2}b^{2}}}=0}

4a2yi2m2−4b2xi2m2−4a2(yi2−b2)m2+8b2xiyim−4b2(yi2−b2)=0{displaystyle {cancel {4a^{2}y_{i}^{2}m^{2}}}-4{b^{2}x}_{i}^{2}m^{2}-4a^{2}left({cancel {y_{i}^{2}}}-b^{2}right)m^{2}+8{b^{2}x}_{i}y_{i}m-4b^{2}left(y_{i}^{2}-b^{2}right)=0}

−xi2m2+a2m2 +2xiyim−yi2+b2=0{displaystyle -x_{i}^{2}m^{2}+a^{2}m^{2} +2x_{i}y_{i}m-y_{i}^{2}+b^{2}=0}

(a2−xi2)m2+2xiyim+b2−yi2=0.{displaystyle left(a^{2}-x_{i}^{2}right)m^{2}+2x_{i}y_{i}m+b^{2}-y_{i}^{2}=0.}

Costruzione geometrica delle rette tangenti ad una ellisse condotte da un punto esterno |

Rette tangenti ad una ellisse condotte da un punto esterno P{displaystyle P}

È data una ellisse di fuochi F1{displaystyle F_{1}}, F2{displaystyle F_{2}} e asse maggiore 2a{displaystyle 2a}, e un punto P{displaystyle P} esterno all'ellisse.
Esistono due metodi per tracciare le rette tangenti all'ellisse condotte dal punto esterno P{displaystyle P}.^[3]

Primo metodo |

Tracciare la circonferenza di centro F1{displaystyle F_{1}} e raggio 2a{displaystyle 2a}. Tracciare la circonferenza di centro P{displaystyle P} e raggio PF2{displaystyle PF_{2}}. Le due circonferenze si intersecano nei punti A{displaystyle A} e B{displaystyle B}. Tracciare i segmenti F1A{displaystyle F_{1}A} e F1B{displaystyle F_{1}B}. Fissare i punti T{displaystyle T} ed S{displaystyle S} di intersezione tra i due segmenti e l'ellisse. Le rette PT{displaystyle PT} e PS{displaystyle PS} sono le rette tangenti cercate.

Basta dimostrare infatti che tali rette soddisfano la proprietà tangenziale sopra descritta. Anzitutto si osserva che i triangoli TAP{displaystyle TAP} e TF2P{displaystyle TF_{2}P} sono congruenti perché hanno i tre lati ordinatamente congruenti: TP{displaystyle TP} è in comune, PA=PF2{displaystyle PA=PF_{2}} perché raggi della stessa circonferenza e TA=F2T{displaystyle TA=F_{2}T} in quanto differenze di segmenti rispettivamente congruenti, infatti TF1+TF2=2a{displaystyle TF_{1}+TF_{2}=2a} e TF1+TA=2a{displaystyle TF_{1}+TA=2a}. In particolare gli angoli ATP^=F2TP^{displaystyle {widehat {ATP}}={widehat {F_{2}TP}}}. D'altra parte anche gli angoli tTF1^=ATP^{displaystyle {widehat {tTF_{1}}}={widehat {ATP}}} e quindi la proprietà tangenziale è dimostrata.

Secondo metodo |

Tracciare la circonferenza di centro F1{displaystyle F_{1}} e raggio 2a{displaystyle 2a}. Tracciare la circonferenza di centro P{displaystyle P} e raggio PF2{displaystyle PF_{2}}. Le due circonferenze si intersecano nei punti A{displaystyle A} e B{displaystyle B}. Tracciare i segmenti F2A{displaystyle F_{2}A} e F2B{displaystyle F_{2}B}. Condurre per P{displaystyle P} la retta t{displaystyle t} perpendicolare al segmento F2A{displaystyle F_{2}A}. Condurre per P{displaystyle P} la retta s{displaystyle s} perpendicolare al segmento F2B{displaystyle F_{2}B}. Le rette t{displaystyle t} ed s{displaystyle s} sono le rette tangenti cercate.

Dalla dimostrazione precedente si osserva che TP{displaystyle TP} è bisettrice dell'angolo al vertice del triangolo isoscele ATF2{displaystyle ATF_{2}} e quindi è anche altezza.

Equazione generale di un'ellisse |

L'equazione generale dell'ellisse avente i fuochi F1(xF1;yF1){displaystyle F_{1}(x_{F1};y_{F1})} ed F2(xF2;yF2){displaystyle F_{2}(x_{F2};y_{F2})} posti in posizione generica sul piano cartesiano e avente il semiasse maggiore denotato con a{displaystyle a} è data da

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0{displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}

dove i parametri A{displaystyle A}, B{displaystyle B}, C{displaystyle C}, D{displaystyle D}, E{displaystyle E} ed F{displaystyle F} sono uguali a

A=16a2−4(xF1−xF2)2,{displaystyle A=16a^{2}-4(x_{F1}-x_{F2})^{2},}

B=−8(xF1−xF2)(yF1−yF2),{displaystyle B=-8(x_{F1}-x_{F2})(y_{F1}-y_{F2}),}

C=16a2−4(yF1−yF2)2,{displaystyle C=16a^{2}-4(y_{F1}-y_{F2})^{2},}

D=4(xF1−xF2)(xF12−xF22+yF12−yF22)−16a2(xF1+xF2),{displaystyle D=4(x_{F1}-x_{F2})(x_{F1}^{2}-x_{F2}^{2}+y_{F1}^{2}-y_{F2}^{2})-16a^{2}(x_{F1}+x_{F2}),}

E=4(yF1−yF2)(xF12−xF22+yF12−yF22)−16a2(yF1+yF2),{displaystyle E=4(y_{F1}-y_{F2})(x_{F1}^{2}-x_{F2}^{2}+y_{F1}^{2}-y_{F2}^{2})-16a^{2}(y_{F1}+y_{F2}),}

F=4(xF12+yF12)(xF22+yF22)−(xF12+xF22+yF12+yF22−4a2)2.{displaystyle F=4(x_{F1}^{2}+y_{F1}^{2})(x_{F2}^{2}+y_{F2}^{2})-(x_{F1}^{2}+x_{F2}^{2}+y_{F1}^{2}+y_{F2}^{2}-4a^{2})^{2}.}

Lunghezza |

La lunghezza dell'ellisse è

p=4aE(e),{displaystyle p=4aE(e),} ed e{displaystyle e} è l'eccentricità.

dove la funzione E{displaystyle E} è l'integrale ellittico completo di seconda specie.

Lo sviluppo in serie è:

p=2πa[1−∑n=1∞(∏k=0n−12k+12(k+1))2e2n2n−1]=2πa[1−(12)2e2−(1⋅32⋅4)2e43−(1⋅3⋅52⋅4⋅6)2e65−…].{displaystyle p=2pi aleft[1-sum _{n=1}^{infty }left(prod _{k=0}^{n-1}{frac {2k+1}{2(k+1)}}right)^{2}{frac {e^{2n}}{2n-1}}right]=2pi aleft[{1-left({1 over 2}right)^{2}e^{2}-left({1cdot 3 over 2cdot 4}right)^{2}{e^{4} over 3}-left({1cdot 3cdot 5 over 2cdot 4cdot 6}right)^{2}{e^{6} over 5}-dots }right].}

Una semplice ma poco raffinata approssimazione per la lunghezza è

p≈π2(a2+b2),{displaystyle papprox pi {sqrt {2(a^{2}+b^{2})}},}

che fornisce il risultato esatto quando l'ellisse è una circonferenza, cioè per a=b{displaystyle a=b}, mentre dà un risultato approssimato per eccesso negli altri casi. Nel caso limite in cui b=0{displaystyle b=0} la formula dà p≈4,44a{displaystyle papprox 4,44a}, mentre il valore esatto è p=4a{displaystyle p=4a}. La formula è più precisa per ellissi con bassa eccentricità. Utilizzare questa formula equivale ad assumere che l'ellisse abbia la stessa lunghezza di una circonferenza che ha raggio uguale alla media quadratica dei semiassi dell'ellisse.

Un'approssimazione migliore si ottiene con uno sviluppo in serie nel modo seguente: posto h=a−ba+b{displaystyle h={frac {a-b}{a+b}}} si ha

p=π(a+b)∑(12n)2h2n=π(a+b)(1+14h2+164h4+1256h6+…).{displaystyle p=pi (a+b)sum {binom {tfrac {1}{2}}{n}}^{2}h^{2n}=pi (a+b){Bigl (}1+{tfrac {1}{4}}h^{2}+{tfrac {1}{64}}h^{4}+{tfrac {1}{256}}h^{6}+ldots {Bigr )}.}

Anche in questo caso l'approssimazione è migliore per le ellissi di bassa eccentricità.

Due formule approssimate sono dovute a Ramanujan^[4]:

p≈π(3(a+b)−(3a+b)(a+3b)){displaystyle papprox pi left(3(a+b)-{sqrt {(3a+b)(a+3b)}}right)}

p≈π(a+b)(1+3h10+4−3h).{displaystyle papprox pi (a+b){biggl (}1+{frac {3h}{10+{sqrt {4-3h}}}}{biggr )}.}

Entrambe le formule danno il risultato esatto per una circonferenza. Nel caso di ellisse degenere in un segmento (b=0{displaystyle b=0}, h=1{displaystyle h=1}) la prima dà p≈3,98a{displaystyle papprox 3,98a}, mentre la seconda dà p≈3,93a{displaystyle papprox 3,93a}, quando il risultato esatto è p=4a{displaystyle p=4a}.

Un'ulteriore approssimazione è p=2πaϵ/arcsinϵ{displaystyle p=2pi aepsilon /arcsinepsilon }, con ϵ{displaystyle epsilon }= 1 - b/a = ≤{displaystyle leq }1, ottenuta utilizzando il teorema di Guldino. Questa formula dà il risultato esatto sia per una circonferenza (b = a => ϵ{displaystyle epsilon }= 0) sia per un'ellisse che degenera in un segmento (b = 0 => ϵ{displaystyle epsilon }= 1): infatti ϵ{displaystyle epsilon }= 1 => ϵ/arcsin⁡ϵ={displaystyle epsilon /arcsin epsilon =} 2/π{displaystyle pi }=> p = 4a mentre ϵ=0=>ϵ/arcsinϵ=1{displaystyle epsilon =0=>epsilon /arcsinepsilon =1} per la formula di De l'Hopital. Il grado di approssimazione negli altri casi, con ϵ{displaystyle epsilon }= ]0,1[ , dipende dall'approssimazione con cui è calcolata la funzione arcoseno. Utilizzando una comune calcolatrice scientifica si ottiene un'approssimazione comunque migliore di quella ottenibile dalla formula di Ramanujan.

Metodo della tangente |

Fissare i due fuochi F1{displaystyle F_{1}} e F2{displaystyle F_{2}} e l'asse maggiore di lunghezza 2a{displaystyle 2a} (con 2a>F1F2{displaystyle 2a>F_{1}F_{2}}). Costruire una circonferenza di centro F1{displaystyle F_{1}} e raggio 2a{displaystyle 2a}. Fissare sulla circonferenza un punto generico K{displaystyle K}. Tracciare il raggio F1K{displaystyle F_{1}K}. Tracciare il segmento F2K{displaystyle F_{2}K} e l'asse di tale segmento (retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio M{displaystyle M}) che interseca F1K{displaystyle F_{1}K} nel punto P{displaystyle P}. Il punto P{displaystyle P} è equidistante da F2{displaystyle F_{2}} e da K{displaystyle K} in quanto sta sull'asse del segmento F2K{displaystyle F_{2}K}. Dunque PF2=PK{displaystyle PF_{2}=PK}. D'altra parte PF1+PK=2a{displaystyle PF_{1}+PK=2a} e quindi PF1+PF2=2a{displaystyle PF_{1}+PF_{2}=2a}. Quindi P{displaystyle P} è un punto dell'ellisse.
Questo metodo viene detto della tangente in quanto la retta MP{displaystyle MP} è la tangente all'ellisse nel punto P{displaystyle P}, infatti gode della proprietà tangenziale, precedentemente descritta.

Metodo del giardiniere |

Lo stesso argomento in dettaglio: Ellisse del giardiniere.

In questo caso sono note le lunghezze dei lati del rettangolo circoscritto all'ellisse. La linea rossa nella .mw-parser-output .chiarimento{background:#ffeaea;color:#444444}.mw-parser-output .chiarimento-apice{color:red}figura qui accanto^{[manca la figura]} sia la corda utilizzata dal "giardiniere" per tracciare l'ellisse. Nel film Agorà del 2009 Ipazia, interpretata da Rachel Weisz, studiando l'orbita della Terra attorno al Sole traccia sulla sabbia un'ellisse con il metodo del giardiniere. In alcuni momenti si vede anche un cono di Apollonio.

Note |

Voci correlate |

• Coordinate ellittiche


• Diametro coniugato


• Ellisse del giardiniere


• 
  Ellissoide, un'ellisse in tre o più dimensioni.


• Iperbole (geometria)


• Orbita ellittica


• Parabola (geometria)


• Rappresentazione matriciale delle coniche


• Sezione conica


• 
  Sferoide, l'ellissoide ottenuto ruotando un'ellisse attorno al suo asse maggiore o minore.


• 
  Superellisse, una generalizzazione dell'ellisse, è più squadrata.

Altri progetti |

• 
  Wikizionario contiene il lemma di dizionario «ellisse»


• 
  Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su ellisse
  

Collegamenti esterni |

• 
  


• 
  Ellisse, su thes.bncf.firenze.sbn.it, Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze.
  


• 
  (EN) Ellisse, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
  


• Dall'ellisse all'architettura

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