Gfrktyl

Касательное пространство TxM{displaystyle scriptstyle T_{x}M} и касательный вектор v∈TxM{displaystyle scriptstyle vin T_{x}M}, вдоль кривой γ(t){displaystyle scriptstyle gamma (t)}, проходящей через точку x∈M{displaystyle scriptstyle xin M}

Касательное пространство к гладкому многообразию M{displaystyle M} в точке x{displaystyle x} — совокупность касательных векторов с введённой на ней естественной структурой векторного пространства.
Касательное пространство к M{displaystyle M} в точке x{displaystyle x} обычно обозначается TxM{displaystyle T_{x}M} или — когда очевидно, о каком многообразии идёт речь — просто Tx{displaystyle T_{x}}.

Совокупность касательных пространств во всех точках многообразия (вместе с самим многообразием) образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением.
Соответственно, каждое касательное пространство есть слой касательного расслоения.

Касательное пространство в точке p{displaystyle p} к подмногообразию определяется аналогично.

В простейшем случае, когда гладкое многообразие гладко вложено в векторное пространство (что возможно всегда, согласно Теореме Уитни о вложении), каждое касательное пространство можно естественно отождествить с некоторым афинным подпространством объемлющего векторного пространства.

Определения |

Есть два стандартных определения касательного пространства:
через класс эквивалентости гладких кривых и через дифференцирование в точке.
Первое интуитивно проще, но на этом пути возникает ряд технических сложностей.
Второе является наиболее простым, хотя уровень абстракции в нём выше.
Второе определение также легче применять на практике.

Как класс эквивалентости гладких кривых |

Пусть M{displaystyle M} — гладкое многообразие и p∈M{displaystyle pin M}.
Рассмотрим класс Γp{displaystyle Gamma _{p}} гладких кривых γ:I→M{displaystyle gamma colon mathbb {I} to M}
таких, что γ(0)=p{displaystyle gamma (0)=p}.
Введём на Γp{displaystyle Gamma _{p}} отношение эквивалентости:
γ1∼γ2{displaystyle gamma _{1}sim gamma _{2}} если

|γ1(t)−γ2(t)|=o(t),t→0{displaystyle |gamma _{1}(t)-gamma _{2}(t)|=o(t),tto 0}

в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей p{displaystyle p}.

Элементы касательного пространства Tp{displaystyle T_{p}} определяются как ∼{displaystyle sim }-классы эквивалентности Γp{displaystyle Gamma _{p}}; то есть

Tp=Γp/∼{displaystyle T_{p}=Gamma _{p}/sim }.

В карте такой, что p{displaystyle p} соответствует началу коодинат,
кривые из Γp{displaystyle Gamma _{p}} можно складывать и умножать на число следующим образом

(γ1+γ2)(t)=γ1(t)+γ2(t){displaystyle (gamma _{1}+gamma _{2})(t)=gamma _{1}(t)+gamma _{2}(t)}

(k⋅γ)(t)=γ(k⋅t){displaystyle (kcdot gamma )(t)=gamma (kcdot t)}

При этом результат остаётся в Γp{displaystyle Gamma _{p}}.

Эти операции продолжаются до классов эквивалентности Tp=Γp/∼{displaystyle T_{p}=Gamma _{p}/sim }.
Более того, индуцированные на Tp{displaystyle T_{p}} операции уже не зависят от выбора карты.
Так на Tp{displaystyle T_{p}} определяется структура векторного пространства.

Через дифференцирование в точке |

Пусть M{displaystyle M} — C∞{displaystyle C^{infty }}-гладкое многообразие.
Тогда касательным пространством к многообразию M{displaystyle M} в точке p∈M{displaystyle pin M} называется пространство дифференцирований в этой точке, то есть пространство операторов X,{displaystyle X,} сопоставляющих каждой гладкой функции f:M→R{displaystyle f:Mto mathbb {R} } число Xf,{displaystyle Xf,} и удовлетворяющих следующим двум условиям:

• 
  R{displaystyle mathbb {R} }-линейность: X(λf+μh)=λXf+μXh,λ,μ∈R,f,h∈C∞(M){displaystyle X(lambda f+mu h)=lambda Xf+mu Xh,;lambda ,mu in mathbb {R} ,f,hin C^{infty }(M)}
  


• 
  правило Лейбница: X(fh)=(Xf)⋅h(p)+f(p)⋅(Xh),f,h∈C∞(M).{displaystyle X(fh)=(Xf)cdot h(p)+f(p)cdot (Xh),;f,hin C^{infty }(M).}
  

На множестве всех дифференцирований в точке p{displaystyle p} возникает естественная структура линейного пространства:

• 
  

  (X+Y)f=Xf+Yf;{displaystyle (X+Y)f=Xf+Yf;}

  
  

  (k⋅X)f=k⋅(Xf).{displaystyle (kcdot X)f=kcdot (Xf).}

  
  

Замечания |

• В случае Ck{displaystyle C^{k}}-гладких многообразий, в определении через дифференцирование следует добавить ещё одно свойство
  

  
  Xf=0{displaystyle Xf=0} если f(q)=o(|p−q|){displaystyle f(q)=o(|p-q|)}
  

  
  

в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей p{displaystyle p}.

• В противном случае это определение даст бесконечномерное пространство, включающее касательное пространство. Это пространство иногда называется алгебраическим касательным пространством. См. ниже.

• Пусть γ∈Γp{displaystyle gamma in Gamma _{p}}. Тогда правило Лейбница и условие линейности оператора выполняются для Xf=(f∘γ)′(0){displaystyle Xf=(fcirc gamma )'(0)}. Это позволяет идентифицировать касательные пространства, получаемые в первом и во втором определениях.

Свойства |

• Касательное пространство n{displaystyle n}-мерного гладкого многообразия является n{displaystyle n}-мерным векторным пространством


• Для выбранной локальной карты x1,…,xn{displaystyle x_{1},dots ,x_{n}}, операторы Xi{displaystyle X_{i}} дифференцирования по xi{displaystyle x_{i}}:
  

  Xif=∂f∂xi(p){displaystyle X_{i}f={frac {partial f}{partial x_{i}}}(p)}

  
  

представляют собой базис Tp{displaystyle T_{p}}, называемый голономным базисом.

Связанные определения |

• 
  Контактным элементом к многообразию в некоторой точке называется любая гиперплоскость касательного пространства в этой точке.

Вариации и обобщения |

Алгебраическое касательное пространство |

Алгебраическое касательное пространство возникает, когда мы в определении касательного вектора отказываемся от дополнительного требования, озвученного в замечании выше (что, впрочем, имеет значение только для Ck{displaystyle C^{k}}-дифференцируемых многообразий, k<∞{displaystyle k<infty }). Его определение обобщается на любое локально окольцованное пространство (в частности, на любое алгебраическое многообразие).

Пусть M{displaystyle M} — Ck{displaystyle C^{k}}-дифференцируемое многообразие,
Ck(M){displaystyle C^{k}(M)} — кольцо дифференцируемых функций из M{displaystyle M} в R{displaystyle mathbb {R} }.
Рассмотрим кольцо Cxk{displaystyle C_{x}^{k}} ростков функций в точке x∈M{displaystyle xin M} и каноническую проекцию [−]x:Ck(M)→Cxk{displaystyle [-]_{x}:C^{k}(M)to C_{x}^{k}}.
Обозначим через mx{displaystyle {mathfrak {m}}_{x}} ядро гомоморфизма колец [f]x↦f(x){displaystyle [f]_{x}mapsto f(x)}.
Введем на Cxk{displaystyle C_{x}^{k}} структуру вещественной алгебры с помощью инъективного гомоморфизма i:R→Cxk{displaystyle i:mathbb {R} to C_{x}^{k}}, i(a)=[consta]x{displaystyle i(a)=[mathrm {const} _{a}]_{x}} и будем далее отождествлять R{displaystyle mathbb {R} } и i(R){displaystyle i(mathbb {R} )}.
Имеет место равенство Cxk=R⊕mk{displaystyle C_{x}^{k}=mathbb {R} oplus {mathfrak {m}}_{k}}^[1]. Обозначим через Cx,0k{displaystyle C_{x,0}^{k}} подалгебру Cxk{displaystyle C_{x}^{k}}, состояющую из всех ростков, представители которых имеют нулевые дифференциалы в точке x{displaystyle x} в каждой карте;
обозначим Cx,dk=R⊕mx2{displaystyle C_{x,d}^{k}=mathbb {R} oplus {mathfrak {m}}_{x}^{2}}.
Заметим, что Cx,dk⊂Cx,0k{displaystyle C_{x,d}^{k}subset C_{x,0}^{k}}.

Рассмотрим два векторных пространства:

• 
  TxM:=(Cxk/Cx,0k)∗{displaystyle T_{x}M:=(C_{x}^{k}/C_{x,0}^{k})^{*}} — это пространство имеет размерность dim⁡M{displaystyle operatorname {dim} M} и совпадает с определённым ранее касательным пространством к M{displaystyle M} в точке x{displaystyle x},


• 
  (Cxk/Cx,dk)∗≅(mx/mx2)∗{displaystyle (C_{x}^{k}/C_{x,d}^{k})^{*}cong ({mathfrak {m}}_{x}/{mathfrak {m}}_{x}^{2})^{*}} — это пространство изоморфно пространству дифференцирований Cxk=R⊕mx{displaystyle C_{x}^{k}=mathbb {R} oplus {mathfrak {m}}_{x}} со значениями в R⊂Cxk{displaystyle mathbb {R} subset C_{x}^{k}}, его называют алгебраическим касательным пространством^[2]M{displaystyle M} в точке x{displaystyle x}.

Если k<∞{displaystyle k<infty }, то mx/mx2{displaystyle {mathfrak {m}}_{x}/{mathfrak {m}}_{x}^{2}} имеет размерность континуум, а (mx/mx2)∗{displaystyle ({mathfrak {m}}_{x}/{mathfrak {m}}_{x}^{2})^{*}} содержит TxM{displaystyle T_{x}M} как нетривиальное подпространство;
в случае k=∞{displaystyle k=infty } или k=ω{displaystyle k=omega } эти пространства совпадают (и Cx,0k=Cx,dk{displaystyle C_{x,0}^{k}=C_{x,d}^{k}})^[3]. В обоих случаях TxM{displaystyle T_{x}M} можно отождествлять с (под)пространством дифференцирований Cxk{displaystyle C_{x}^{k}} со значениями в R{displaystyle mathbb {R} }, для вектора X∈TxM{displaystyle Xin T_{x}M} формула X(f)=X([f]x){displaystyle X(f)=X([f]_{x})} задаёт инъективный гомоморфизм TxM{displaystyle T_{x}M} в пространство дифференцирований Ck(M){displaystyle C^{k}(M)} со значениями в R{displaystyle mathbb {R} } (структура вещественной алгебры на Ck(M){displaystyle C^{k}(M)} задается аналогично Cxk{displaystyle C_{x}^{k}}). При этом в случае k=∞{displaystyle k=infty } получается в точности определение, данное выше.

См. также |

• Касательный вектор


• Кокасательное пространство


• Касательное расслоение

Примечания |

1. 
   ↑ Ж.-П. Серр, Алгебры Ли и Группы Ли, М.: Мир, 1969.
   


2. 
   ↑ Laird E. Taylor, The Tangent Space to a Ck{displaystyle C^{k}} Manifold, Bulletin of AMS, vol. 79, no. 4, July 1973.
   


3. 
   ↑ JE Marsden, T Ratiu, R Abraham, Manifolds, Tensor Analysis, and Applications, Addison-Wesley Pub. Co., 1983.